复数运算
((a,bi),(c,di))
加法：((a+c,(b+d)i))
减法：((a-c,(b-d)i))
乘法：((ac-bd,(bc+ad)i))
除法：
[frac{a+bi}{c+di}=frac{(a+bi)*(c-di)}{(c+di)*(c-di)}=frac{ac+bd}{c^2+d^2}+frac{bc-ad}{c^2+d^2}i
]
二次剩余
模数为奇素数用(cipolla)
inline int cipolla(int n){
n%=mod;//
if(ksm(n,mod>>1)==mod-1)return -1;
int x;
while(1){
x=rand()%mod;//
sq=((ll)x*x-n+mod)%mod;//
if(ksm(sq,mod>>1)==mod-1)break;//
}
return (cpow(complx(x,1),mod+1>>1).x+mod)%mod;
}
BSGS
inline int bsgs(int x,int c){
if(!x)return c?-1:1;
int sq=ceil(sqrt(mod));
mp.clear();
for(int i=0,pw=1;i<=sq;i++,pw=pw*x%mod)
mp[pw*c%mod]=i;
x=ksm(x,sq);
for(int i=1,nw=x;i<=sq;i++,nw=nw*x%mod)
if(mp.find(nw)!=mp.end())return i*sq-mp[nw];
return -1;
}
exBSGS
inline int exBSGS(int a,int b){
a%=mod;b%=mod;
if(b==1)return 0;
if(!a)return b?-1:1;
int num=0,k=1,sq=ceil(sqrt(mod)),d;//
while(1){
d=gcd(a,mod);
if(d==1)break;
if(b%d)return -1;
b/=d;mod/=d;num++;
k=k*a/d%mod;//
if(k==b)return num;
}
mp.clear();
for(int i=0,x=b;i<=sq;i++,x=x*a%mod)//
mp[x%mod]=i;
a=ksm(a,sq);
for(int i=1,nw=k*a%mod;i<=sq;i++,nw=nw*a%mod)
if(mp.find(nw)!=mp.end())return i*sq-mp[nw]+num;
return -1;
}
CRT
[ans=sum_{i=1}^ka_iM_it_i(M_i=frac M{m_i},M_it_i≡1pmod{m_i})
]
exCRT
A=a[1];M=m[1];
for(int i=2,d,x,y;i<=n;i++){
d=exgcd(M,m[i],x,y);
x=mul((x%m[i]+m[i])%m[i],(a[i]-A)/d,m[i]/d);
A=(x*M+A);
M=M/d*m[i];
A%=M;
}
cout<<A<<"
";
Lucas
[C_n^mmod p=C_{n/p}^{m/p}*C_{nmod p}^{mmod p}mod p,pIsPrime
]
exLucas
把模数拆成互质的几个部分(p^c)然后用中国剩余定理求解，注意算阶乘分别处理两部分，含有(p)和不含的（不用Lucas了）
牛顿迭代
给定多项式(g(x))，已知有(f(x))满足：
[g(f(x))equiv0 pmod {x^n}
]
求模(x^n)意义下的(f(x))
倍增
当(n=1)时，([x^0]g(f(x))=0)的解单独算
已知(f_0(x))模(x^frac n2)的解，求模(x^n)的解(f(x))
(g(f(x)))在(f_0(x))处泰勒展开
[sum_{i=0}^{oo}frac{g^{(i)}(f_0(x))}{i!}(f(x)-f_0(x))^iequiv0pmod {x^n}
]
(f(x)-f_0(x))的最低非零项次数为(frac n2)，有
[(f(x)-f_0(x))^iequiv ……
]
……
[f(x)=f_0(x)-frac{g(f_0(x))}{g`(f_0(x))}pmod{x^n}
]
例：多项式(exp)
给定函数为(h(x))
(g(f(x))=ln f(x)-h(x)pmod {x^n})
[f(x)equiv f_0(x)-frac{ln f_0(x)-h(x)}{frac 1{f_0(x)}}pmod{x^n}
]
[f(x)equiv f_0(x)(1-ln f_0(x)+h(x))pmod{x^n}
]
时间复杂度
[T(n)=T(frac n2)+O(nlog n)=O(nlog n)
]
poly ln exp
关键词：麦克劳林级数
[ln(1-f(x))=-sum_{i=1}^{oo}frac{f^i(x)}i
]
[ln(1+f(x))=sum_{i=1}^{oo}frac{(-1)^{i-1}f^i(x)}i
]
[exp f(x)=e^{f(x)}=sum_{i=0}^{oo}frac{f^i(x)}{i!}
]
Miller-Rabin
int pri[12]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
inline bool MR(int n){
for(int i=0;i<12;i++)
if(pri[i]==n)return 1;
if(n<2||!(n&1))return 0;
for(int i=0,k,x;i<12;i++){
k=n-1;
while(k){
x=ksm(pri[i],k,n);
if(x!=1&&x!=n-1)return 0;
if((k&1)||x==n-1)break;
k>>=1;
}
}
return 1;
}
Pollard-Rho
inline int f(int x,int c,int mod){
return (mul(x,x,mod)+c)%mod;
}
inline int PR(int n){
int t=0,c=rand()%n,s,sum,d;
for(int w=1;;w<<=1){
s=t;sum=1;
for(int i=0;i<w;i++){
t=f(t,c,n);
sum=mul(sum,abs(t-s),n);
if(i%127==0){
d=gcd(n,sum);
if(d>1)return d;
}
}
d=gcd(n,sum);
if(d>1)return d;
}
}
快速乘
inline int mul(ul x,ul y,ul mod){
return (x*y-(int)((long double)x/mod*y)*mod+mod)%mod;
}