【CTS2019】珍珠

题目

设有(A)种颜色颜色出现了奇数次，出现的次数总和为(B)；那么就有(D-A)种颜色出现偶数次，出现的次数总和为(n-B)。那么就能装(frac{B-A}{2}+frac{n-B}{2}=frac{n-A}{2})个瓶子。如果要至少装满(m)个瓶子，就有(frac{n-A}{2}geq m)，即(Aleq n-2m)。

于是能否装满(m)个瓶子只和有多少种颜色出现奇数次有关，不难搞一个dp，设(dp_{i,j})表示前(i)个珍珠，有(j)种出现了奇数次的方案数；转移的话枚举一下第(i+1)颗珍珠是出现了奇数次的颜色还是出现了偶数次的颜色，乘上颜色数直接转移即可。复杂度是(O(nD))的。

这样我们的dp也就做到头了，考虑容斥一波，设(g_i)表示至少有(i)种颜色的珍珠出现了奇数次，设(F(x)=displaystyle sum_{igeq 0}frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!})即出现次数为奇数次的珍珠的生成函数。那么就有(g_i=n![n]inom{D}{i}F^{i}(x)e^{x(D-i)})，即从(D)种颜色里选(i)种出现奇数次，对于剩下的(D-i)种颜色出现次数随意。

不难发现(F'(x)=displaystyle sum_{igeq 0}frac{x^{2i}(2i+1)}{(2i+1)!}=displaystyle sum_{igeq 0}frac{x^{2i}}{(2i)!})，那么显然有(F(x)+F'(x)=e^x)。再进一步发现(F''(x)=F(x))。利用这两条性质构造一下(F(x))，发现(F(x)=frac{e^x-e^{-x}}{2})。

于是有

[egin{aligned} g_i=&n![n]inom{D}{i}(frac{e^x-e^{-x}}{2})e^{x(D-i)}\ =&n![n]frac{inom{D}{i}}{2^i}e^{x(D-i)}sum_{j=0}^iinom{j}{i}e^{xj}(-1)^{i-j}e^{x(j-i)}\ =&n![n]frac{inom{D}{i}i!}{2^i}sum_{j=0}^ifrac{(-1)^{i-j}e^{x(2j-2i+D)}}{(i-j)!} imes frac{1}{j!}\ =&frac{inom{D}{i}i!}{2^i}sum_{j=0}^ifrac{(-1)^{i-j}(2j-2i+D)^n}{(i-j)!} imes frac{1}{j!} end{aligned} ]

不难发现这是一个卷积的形式，直接ntt求出(g)即可。求出(g)之后再做一个二项式反演就能直接算答案了。

代码。