• 【HZOI省选模拟54 A】space


    题意

    一个显而易见的事情是对每一个排列求一下其置换环的长度,设(A_i,B_i,C_i,D_i)表示相应排列长度为(i)的置换环有多少个;

    我们知道长度为(i,j,k,l)的四个一维置换合成一个四维的置换后换的长度是({ m lcm}(i,j,k,l)),共有(i imes j imes k imes l)个点,于是会形成(frac{i imes j imes k imes l}{{ m lcm}(i,j,k,l)})个环,对于每个环我们可以花费({ m lcm}(i,j,k,l)-1)的代价将其遍历一遍,从一个环走到另一个环就用2的代价,于是答案是

    [2n^4-sum_{i}sum_{j}sum_{k}sum_{l}A_iB_jC_kD_lfrac{i imes j imes k imes l}{{ m lcm}(i,j,k,l)}({ m lcm}(i,j,k,l)-1) ]

    整理一下大概是

    [n^4+sum_{i}sum_{j}sum_{k}sum_{l}A_iB_jC_kD_lfrac{i imes j imes k imes l}{{ m lcm}(i,j,k,l)} ]

    我们注意到有(sum_{i}iA_i=n),于是使得(A_i eq 0)(i)只会有(sqrt{n})个,于是我们可以暴力求上面的式子,复杂度就是(O((sqrt{n})^4log n)=O(n^2log n)),是一个过不去的复杂度;

    考虑一个奇奇gaygay的折半,我们发现(frac{i imes j imes k imes l}{{ m lcm}(i,j,k,l)}=frac{ijklgcd({ m lcm}(i,j),{ m lcm}(k,l))}{{ m lcm}(i,j) imes { m lcm}(k,l)}=gcd(i,j)gcd(k,l)gcd({ m lcm}(i,j),{ m lcm}(k,l)));于是求两个集合:

    [S_1={(A_iB_jgcd(i,j),{ m lcm}(i,j))|1leq ileq n,1leq jleq n} ]

    [S_2={(C_kD_lgcd(k,l),{ m lcm}(k,l))|1leq kleq n,1leq lleq n} ]

    注意到两个集合的大小都是(O(n))级别,于是可以直接暴力求出。

    于是我们要求的东西是

    [egin{aligned} &sum_{(i,j)in S_1}sum_{(k,l)in S_2}ikgcd(j,l)\ =&sum_{(i,j)in S_1}isum_{p|j}psum_{(k,l)in S_2}[gcd(j,l)=p]k\ =&sum_{(i,j)in S_1}isum_{p|j}psum_{(k,l)in S_2}k[p|l]sum_{d|frac{j}{p},d|frac{l}{p}}mu(d)\ =&sum_{(i,j)in S_1}isum_{p|j}psum_{d|frac{j}{p}}mu(d)sum_{(k,l)in S_2}[dp|l]k end{aligned} ]

    (G(x)=sum_{(k,l)in S_2}[x|l]k),于是有

    [egin{aligned} &sum_{(i,j)in S_1}sum_{(k,l)in S_2}ikgcd(j,l)\ =&sum_{(i,j)in S_1}isum_{p|j}psum_{d|frac{j}{p}}mu(d)G(dp)\ =&sum_{(i,j)in S_1}isum_{t|j}G(t)sum_{p|t}pmu(frac{t}{p})\ =&sum_{(i,j)in S_1}isum_{t|j}G(t)varphi(t)\ end{aligned} ]

    但是我们注意到(j)完全可以到(n^2)级别,但是(j)不会有超过(n)的质因子,于是我们可以维护(j)质因子分解后的形式,复杂度是(O(d(n^2)nlog n))

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #include<tr1/unordered_map>
    #define re register
    #define LL long long
    #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
    using namespace std::tr1;
    unordered_map<LL,int> ma;
    inline int read() {
    	char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
    }
    const int maxn=1e5+5,mod=998244353;
    inline int dqm(int x) {return x<0?x+mod:x;}
    inline int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
    int p[maxn],vis[maxn],f[maxn],tax[maxn];
    int n,sz[4],A[4][maxn],B[4][maxn],mp[maxn];
    int w[2][105],s[2][105],top[2];
    int pr[105],sp[105],tot,ans;
    int fid(int x) {
    	if(vis[x]) return 0;
    	vis[x]=1;return fid(p[x])+1;
    }
    inline void solve(int *G,int *D,int &num) {
    	for(re int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0,tax[i]=0;
    	for(re int i=1;i<=n;i++) {
    		if(vis[i]) continue;
    		G[++num]=fid(i);
    	}
    	for(re int i=1;i<=num;i++)tax[G[i]]++;num=0;
    	for(re int i=1;i<=n;i++)if(tax[i])G[++num]=i,D[num]=tax[i];
    }
    int gcd(int a,int b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
    inline void lcm(int x,int y) {
    	top[0]=top[1]=0;
    	while(x!=1) {
    		int t=mp[x];
    		w[0][++top[0]]=t;s[0][top[0]]=0;
    		while(x%t==0) s[0][top[0]]++,x/=t;
    	}
    	while(y!=1) {
    		int t=mp[y];
    		w[1][++top[1]]=t,s[1][top[1]]=0;
    		while(y%t==0) s[1][top[1]]++,y/=t;
    	}
    	tot=0;int lp=1,rp=1;
    	while(lp<=top[0]&&rp<=top[1]) {
    		if(w[0][lp]<w[1][rp]) {
    			pr[++tot]=w[0][lp];
    			sp[tot]=s[0][lp];lp++;
    			continue;
    		} 
    		if(w[0][lp]>w[1][rp]) {
    			pr[++tot]=w[1][rp];
    			sp[tot]=s[1][rp];rp++;
    			continue;
    		}
    		pr[++tot]=w[0][lp];
    		sp[tot]=max(s[1][rp],s[0][lp]);
    		lp++,rp++;
    	}
    	while(lp<=top[0]) pr[++tot]=w[0][lp],sp[tot]=s[0][lp++];
    	while(rp<=top[1]) pr[++tot]=w[1][rp],sp[tot]=s[1][rp++];
    }
    void add(int id,LL nw,int v) {
    	if(id==tot+1) {
    		ma[nw]+=v;ma[nw]%=mod;
    		return;
    	} 	
    	LL t=1;
    	for(re int i=0;i<=sp[id];++i,t=1ll*pr[id]*t) 
    		add(id+1,nw*t,v); 
    }
    void dfs(int id,LL nw,int phi,int v) {
    	if(id==tot+1) {
    		ans=qm(ans+1ll*ma[nw]*v%mod*phi%mod);
    		return;
    	}
    	LL t=1;int vphi=1;
    	for(re int i=0;i<=sp[id];++i) {
    		dfs(id+1,nw*t,1ll*phi*vphi%mod,v);
    		t=1ll*pr[id]*t;
    		vphi=1ll*vphi*(i==0?pr[id]-1:pr[id])%mod;
    	} 
    }
    int main() {
    	n=read();
    	for(re int t=0;t<4;++t) {
    		for(re int i=1;i<=n;i++)p[i]=read();
    		solve(A[t],B[t],sz[t]);
    	}
    	for(re int i=2;i<=n;i++) {
    		if(!f[i]) p[++p[0]]=i,mp[i]=i;
    		for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;++j) {
    			f[p[j]*i]=1;mp[p[j]*i]=p[j];if(i%p[j]==0)break;
    		}
    	}
    	for(re int i=1;i<=sz[2];++i)
    		for(re int j=1;j<=sz[3];++j) {
    			lcm(A[2][i],A[3][j]);
    			add(1,1,1ll*B[2][i]*B[3][j]%mod*gcd(A[2][i],A[3][j])%mod);
    		}
    	ans=1ll*n*n%mod*n%mod*n%mod;
    	for(re int i=1;i<=sz[0];++i)
    		for(re int j=1;j<=sz[1];++j) {
    			lcm(A[0][i],A[1][j]);
    			dfs(1,1,1,1ll*B[0][i]*B[1][j]%mod*gcd(A[0][i],A[1][j])%mod);
    		}
    	printf("%d
    ",ans);
    	return 0;
    }
    
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