求(sum_{i=1}^n[(i,n)=1]i^m)。(n)非常大，以质因数分解后的形式给出。
随手反演一波，上面那个式子就是
[sum_{d|n}mu(d)sum_{i=1}^{frac{n}{d}}(i imes d)^m=sum_{d|n}mu(d)d^msum_{i=1}^{frac{n}{d}}i^m
]
我们发现这有一个自然数幂次方和，众所周知这是一个(m+1)多项式，我们可以把系数插出来，之后变成了
[sum_{d|n}mu(d)d^msum_{i=0}^{m+1}f_i(frac{n}{d})^i=sum_{i=0}^{m+1}f_isum_{d|n}mu(d)d^m(frac{n}{d})^i
]
不妨设(g(n,i)=sum_{d|n}mu(d)d^m(frac{n}{d})^i=n^isum_{d|n}mu(d)d^{m-i})，这显然是一个积性函数；于是每个质因子是独立的，正好给出了(n)的分解式，于是算一下每个质数次幂的值就好了；
对于(g(p^a,i))只有(mu(1),mu(p))不是0，于是单独算一下这两项就好了
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
const int mod=1e9+7;
inline int dqm(int x) {return x<0?x+mod:x;}
inline int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
inline int ksm(int a,int b) {
int s=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)s=1ll*s*a%mod;return s;
}
const int maxn=1005;
int n,m,p[maxn],w[maxn],pre[maxn];
int f[maxn],g[maxn],h[maxn],ifac[maxn],fac[maxn];
inline void Lagrange(int N) {
for(re int i=1;i<=N;i++)pre[i]=qm(pre[i-1]+ksm(i,m));
fac[0]=ifac[0]=g[0]=1;
for(re int i=1;i<=N;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
ifac[N]=ksm(fac[N],mod-2);
for(re int i=N-1;i;--i)ifac[i]=1ll*ifac[i+1]*(i+1)%mod;
for(re int i=0;i<=N;++i)
for(re int j=i+1;j>=0;j--) {
g[j]=1ll*g[j]*dqm(-i)%mod;
if(j)g[j]=qm(g[j]+g[j-1]);
}
for(re int i=1;i<=N;i++) {
int v=1ll*pre[i]*ifac[i]%mod*ifac[N-i]%mod*((N-i)&1?mod-1:1)%mod;
int Inv=ksm(dqm(-i),mod-2);h[0]=1ll*g[0]*Inv%mod;
for(re int j=1;j<=N;j++)h[j]=1ll*dqm(g[j]-h[j-1])*Inv%mod;
for(re int j=0;j<=N;j++)f[j]=qm(f[j]+1ll*v*h[j]%mod);
}
}
int main() {
scanf("%d%d",&m,&n);Lagrange(m+1);int ans=0;
for(re int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i],&w[i]);
for(re int i=1;i<=m+1;i++) {
int prod=1;
for(re int j=1;j<=n;j++) {
int nw=ksm(p[j],1ll*w[j]*i%(mod-1));
int u=(m-i+mod-1)%(mod-1);
prod=1ll*prod*nw%mod*dqm(1-ksm(p[j],u))%mod;
}
ans=qm(ans+1ll*f[i]*prod%mod);
}
printf("%d
",ans);
return 0;
}