图论·双连通分量

注：双连通分量是针对无向图的概念。

对于一个连通图，如果任意两点至少存在两条“点不重复”的路径，则说这个图是点-双连通的（双连通）。这个要求等价于任意两条边都在同一个简单环中，即内部无割顶。类似地，如果任意两点至少存在两条“边不重复”的路径，我们说这个图是边-双连通的，要求每条边都至少在一个简单环中，即所有边都不是桥。显然边双连通相对点双连通是一个更弱的条件。对于一张无向图，点-双连通的极大子图称为双连通分量（bcc）或块。不难看出，每条边恰好属于一个双连通分量，但不同双连通分量可能会有公共点。实际上，可以证明不同双连通分量最多只有一个公共点，且它一定是割顶。同时，任意割顶都是至少两个不同双连通分量的公共点。

首先了解一下无向图的割顶(cut vertex)与桥(bridge)。它们是保持连通分量连通性的关键结点或边，也就是说删除某个连通分量的割顶之后，原图不再连通，桥的判定方法类似。可以在线性时间内找到一张无向连通图的所有割顶。我们考虑对于一张无向连通图$G$进行dfs得到的dfs树，显然树根是割顶当且仅当它有两个或以上的子树，对于非树根结点有如下性质：

 在无向连通图$G$的dfs树中，非根结点$u$是$G$的割顶当且仅当$u$存在一个子结点$v$，使得以该子结点为根的子树中所有结点均没有反向边连回$u$的祖先。

 方便起见，设$low(u)$为$u$及其后代所能连回的最早的祖先的$pre$值，则上述条件就可以简单地写成结点$u$存在一个子结点$v$，使得$low(v) geq  pre(u)$。作为一种特殊情况，如果$v$的后代只能连回$v$自己（即$low(v) > pre(u) $），只需删除$(u, v)$一条边就可以让图$G$非连通，因此$(u, v)$是桥。下面给出判定图$G$中割顶的代码：

int dfs(int u, int fa){
    int lowu = pre[u] = ++dfs_clk;
    int child = 0;
    FOR(i, 0, G[u].size() - 1){//FOR(i, j, k) :: for(int i = j; i <= k; i++)
        int v = G[u][i];
        if(!pre[v]){ // v never visited before
            child++;
            int lowv = dfs(v, u);
            minimize(lowu, lowv);//min(x, y) :: x = min(x, y)
            if(lowv >= pre[u]) is_cut[u] = 1; // u is vertex cut
        }else if(pre[v] < pre[u] && v != fa) minimize(lowu, pre[v]);
    }
    if(fa < 0 && child == 1) is_cut[u] = 0;
    low[u] = lowu;
    return lowu;
}

 $pre(u)$是结点$u$在dfs时第一次被访问的时间，对于从结点$u$发出的边，如果指向一个未访问过的结点，可以用子结点的$low[v]$来更新$low[u]$，否则如果$v$不是$u$的父结点，说明该边是一条反向边（$v$在dfs树中的父结点并不是$u$），用该边更新$low[u]$。

计算点-双连通分量一般用如下算法（Tarjan）：

vector<int> G[maxn], bcc[maxn];
int pre[maxn], is_cut[maxn], bcc_no[maxn];
int dfs_clk, bcc_cnt;
int odd[maxn], color[maxn];
struct E{
    int u, v;
    E(int u = 0, int v = 0) : u(u), v(v) {}
};
stack<E> S;
int dfs(int u, int fa){
    int lowu = pre[u] = ++dfs_clk;
    int ch = 0;
    FOR(i, 0, G[u].size() - 1){
        int v = G[u][i];
        E e = E(u, v);
        if(!pre[v]){
            S.push(e);
            ch++;
            int lowv = dfs(v, u);
            minimize(lowu, lowv);
            if(lowv >= pre[u]){
                is_cut[u] = 1;
                bcc_cnt++, bcc[bcc_cnt].clear();
                while(true){
                    E x = S.top(); S.pop();
                    if(bcc_no[x.u] != bcc_cnt){
                        bcc[bcc_cnt].pb(x.u), bcc_no[x.u] = bcc_cnt;
                    }
                    if(bcc_no[x.v] != bcc_cnt){
                        bcc[bcc_cnt].pb(x.v), bcc_no[x.v] = bcc_cnt;
                    }
                    if(x.u == u && x.v == v) break;
                }
            }
        }else if(pre[v] < pre[u] && v != fa){
                S.push(e);
                minimize(lowu, pre[v]);
        }
    }
    if(fa < 0 && ch == 1) is_cut[u] = 0;
    return lowu;
}

void find_bcc(int n){
    clr(pre, 0), clr(is_cut, 0), clr(bcc_no, 0);
    dfs_clk = bcc_cnt = 0;
    FOR(i, 0, n - 1) if(!pre[i]) dfs(i, -1);
    //post condition : S is empty
}

 边-双连通分量可以用更简单的办法求出，分两个步骤，先做一次dfs标记出所有的桥，然后再做一次dfs找出边-双连通分量。因为边-双连通分量是没有公共结点的，所以只要在第二次dfs时不经过桥即可。