离散对数求解学习笔记

一个经典的算法——BSGS算法

    BSGS全名为Baby-Step-Giant-Step，即大小步法，有人戏称之为北上广深算法。可以快速求解离散对数问题，形如，C是素数。

    BSGS算法使用了一个重要的引理：

重要的引理

    如果，那么。

    证明这个引理需要用到欧拉定理

欧拉定理

    如果，那么。

    证明（十分精彩的证明）：

        将小于C且与C互质的数顺序列出：。

        令。

        那么数列m有如下两个性质：

        1）这些数中的任意两个都不模C同余。

        假设存在两个数使得，则。

        ，矛盾。

        因此，这个数有种余数。

        2）这些数模C的余数都和C互质。

        假设其中一个数模C的余数与C有公因子r，则，矛盾。

        因此，这些数模C的余数包含于x。

        由这两个性质可得：

       

        QED.

    使用欧拉定理，得

。

    QED.

    证明完这个引理，BSGS的步骤就很简单了。只需要考虑的情况，其他情况周期出现。（当然，并不一定是最小正周期）对答案分块，令，则答案x可以写作的形式，即。对于每一个i，至多有一个j对应使等式成立，预处理将对应的j哈希掉，总复杂度。

void bsgs(int u, int v) {
    if(!u && !v) return 2;
    else if(!u) return -1;
    int m = ceil(sqrt(mod)); hash.clear();
    hash[1] = m; int p = u, q = v, iv = inv(pow(u, m));
    for(int i = 1; i < m; i++, p = 1ll * p * u % mod) hash[p] = i;
    for(int i = 0; i <= m; i++) {
        if(hash[q]) return i * m + hash[q] % m + 1; 9         q = 1ll * q * iv % mod;
    }
    puts("-1");
} 

更泛用的算法——扩展BSGS算法

    BSGS非常神奇，但只能解决A和C互质的情况。扩展BSGS基于BSGS算法，但可以解决A和C不互质的情况。

    令，则。若B不是d的倍数且非1则显然无解。

一个简单的同余性质

   

    原方程可以化为。令，则可递归处理直到A和C互质，使用BSGS算法解决即可。

    需要注意的是，原方程最后被化为了的形式。BSGS只能求解的情况，所以需要枚举0-num-1。

int exbsgs(int a, int b, int p) {
    a %= p; b %= p;
    if(b == 1) return 0; int cnt = 0; ll t = 1;
    if(a == 0) return b > 1 ? -1 : b == 0 && p > 1;
    for(int g = gcd(a, p); g != 1; g = gcd(a, p)) {
        if(b % g) return -1;
        p /= g; b /= g; t = 1ll * t * (1ll * a / g % p) % p;
        cnt++; if(b == t) return cnt;
    }
    hash.clear(); int m = ceil(sqrt(p));
    ll u = b; for(int i = 0; i < m; i++, u = 1ll * u * a % p) hash[u] = i;
    ll v = t, iv = pow(a, m, p);
    for(int i = 0; i <= m; i++) {
        v = 1ll * v * iv % p;
        if(hash.count(v)) return (i + 1) * m - hash[v] + cnt;
    }
    return -1;
}