·搭配飞行员
题意
一群正驾驶，一群副驾驶。一些正驾驶可以和副驾驶一起飞。问最多多少架飞机可以飞。
题解
二分图最大匹配模型。
超级源向所有正驾驶连容量为1的边，所有副驾驶向超级汇连容量为1的边。可以一起飞的正副驾驶之间连容量为1的边。跑最大流就是二分图最大匹配。
·太空飞行计划
题意
m个实验，n个仪器。每个实验需要若干个仪器。激活每个仪器需要一个cost，每个实验有个价值。问激活哪些仪器收益最大。
题解
最大权闭合子图问题。可以转化为最小割问题。
超级源向所有实验连容量为收益边，仪器向超级汇连容量为cost的边。
如果实验i需要仪器j，则i向j连容量为INF的边。
则最大收益为收益和-最大流。
对应的解就是最小割划分出的S集合中的点，也就是最后一次增广找到阻塞流时能从S访问到的顶点。
定义一个割划分出的S集合为一个解，那么割集的容量之和就是(未被选的A集合中的顶点的权值 + 被选的B集合中的顶点的权值)，记为Cut。A集合中所有顶点的权值之和记为Total，那么Total - Cut就是(被选的A集合中的顶点的权值 - 被选的B集合中的顶点的权值)，即为我们的目标函数，记为A。要想最大化目标函数A，就要尽可能使Cut小，Total是固定值，所以目标函数A取得最大值的时候，Cut最小，即为最小割。
·最小路径覆盖
题意
图中的每个点都恰好在路径集合P中的一条路上，称集合P为一个路径覆盖。路径条数最少的覆盖称为最小路径覆盖。给出有向无环图G，求最小路径覆盖。
题解
拆点。讲i点拆为Xi和Yi。若i到j之间有边，则Xi向Yj连边。跑二分图最大匹配即可。
最小路径覆盖的条数=原图顶点数-二分图最大匹配数。
对于一个路径覆盖，有如下性质：
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。
·魔术球
题意
N根柱子，依次放编号为1，2，3..的球。要求每次只能在柱顶放球。要求相邻球编号和为完全平方数。
计算N根柱子最多放多少个球。
题解
设最多放X个球。那么建立节点1..X，若i<j且i+j为完全平方数，则建一条有向边。那么最小路径覆盖就是最少需要的柱子数。
顺序枚举A的值，当最小路径覆盖数刚好大于N时终止，A-1就是最优解。
若二分答案，则每次要重新建图，复杂度更高。
·圆桌聚餐
题意
n个单位，每个单位ri个人。共m张桌子，每个桌子可容纳ci个人。同桌的人不能同单位。
题解
二分图多重匹配。
超级源向所有单位连容量为单位人数的边，所有桌子向超级汇连容量为桌子容量的边。
所有单位向所有桌子连边。
跑最大流，若最大流=总人数，则有解，否则无解。
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