[LeetCode] 1025. Divisor Game

Description

Alice and Bob take turns playing a game, with Alice starting first.

Initially, there is a number N on the chalkboard. On each player's turn, that player makes a move consisting of:

• Choosing any x with 0 < x < N and N % x == 0.
• Replacing the number N on the chalkboard with N - x.
  Also, if a player cannot make a move, they lose the game.

Return True if and only if Alice wins the game, assuming both players play optimally.

Example 1:

Input: 2
Output: true
Explanation: Alice chooses 1, and Bob has no more moves.

Example 2:

Input: 3
Output: false
Explanation: Alice chooses 1, Bob chooses 1, and Alice has no more moves.

Note:

1. 1 <= N <= 1000

Analyse

黑板上有个整数N，每个人都作如下两个操作

• 选择一个整数x，x 满足 0 < x < N 和 N % x == 0
• 将N 变成 N - x

无法选择出满足条件的整数x时输

Alice先手

两个人作出的选择都是最优的

动态规划

• 定义dp[i] 为当N为i，且轮到Alice选择时是否会胜利

• 找出递推关系

dp[i] = true    ## 存在x，满足(dp[i - x] == false) && (N % x == 0) && (1 < x < N)
        false   ## 其他

给出初值

dp[0] = false

dp[1] = true

最终代码

bool divisorGame(int N) {
    bool dp[N+1] = {false}; // 用false初始化为长度为N+1的dp数组

    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        for (int x = 1; x < i; x++) {
            if (i % x == 0) {   // N % x == 0 ?
                dp[i] = dp[i] || !dp[i-x];  // dp[i - x] == false ?
            }
        }
    }

    return dp[N];
}

找规律

对这道题来说，只有N一个输入，且N定义的是dp的长度，dp的值对于所有的N来说都是一样的，可以先手动算几个，这里计算N=6

N	1	2	3	4	5	6
结果	x	√	x	√	x	√

N=2时，Alice选择x=1，胜

N=3时，Alice选择x=1，败

N=4时，Alice选择x=1，Bob面对N=3的情况，Alice胜，这里Alice如果选择2的话就输了（但题目说玩家做出的选择都是最优的）

N=5时，Alice选择x=1，Bob面对N=4的情况，Bob胜，Alice败

N=6时，Alice选择x=1，Bob面对N=5的情况，Bob败，Alice胜

看出规律，只要轮到Alice的时候N是偶数，Alice就赢定了

用位运算 (N & 1) == 0 来判断奇偶

bool divisorGame(int N) {
    return (N & 1) == 0;
}

简单的证明

• 谁拿1谁就输

• N为奇数时，Alice必输
  奇数的因子也是奇的，无论Alice选什么，剩下的N-x为偶数，x < N，N-x至少为2，Bob再选1，N-x又变成了奇数，重复这个操作，最后Alice会拿到1

• N为偶数时，Alice必胜
  Alice每次选1，Bob就拿到了奇数，Alice胜

References

1. Proof of returning N % 2 == 0