宝藏

https://www.luogu.org/problem/P3959

qwq首先，prim是错误的，可以被这组数据卡掉：数据

然后，据说正解 O(4^n)O(4n) ，而我的做法是 O(n^33^n)O(n33n) ，渐进意义上小但是 n leq 12n≤12 的时候大。

然后，我的常数小至 frac{1}{27}271​ ，极限数据（就是12个点之间全有边）在sd的辣鸡WinXp上跑了0.8秒。luogu自测过了。

我的想法是dp。

状态：

f_{i,j,S}(j otin S)fi,j,S​(j̸∈S) ，表示从起点到节点j的距离为i，我现在要从j开始挖边，挖通集合S的最小代价。

转移时，我枚举从节点j打出的第一条边，假设它是j->k，再枚举从k要打到的子集 S_2subset SS2​⊂S ，那么

f_{i, j, S} = min_{k in S_2 subset S} (d[j][k] * (i + 1) + f_{i + 1, k, S_2 - {k}} + f_{i, j, S - S_2})fi,j,S​=k∈S2​⊂Smin​(d[j][k]∗(i+1)+fi+1,k,S2​−{k}​+fi,j,S−S2​​)

最后取所有 $f_{0,i,U-{i})$ 的最小值即可，其中 $U$ 是全集。

时间复杂度。。。这个太难算，用了好多二项式系数恒等式，这里略去。

程序中先枚举的 S_2S2​ 后枚举的 k in S_2k∈S2​ ，并且预处理了每个集合的最小元素以加快枚举。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
namespace rqy{
  const int N = 13;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  int f[N][N][1 << N];
  int siz[1 << N], ttt[1 << N];
  int d[N][N];
  void main() {
    int n, m, x, y, z;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    while (m--) {
      scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
      --x; --y;
      d[y][x] = d[x][y] = std::min(d[x][y], z);
    }
    int up = 1 << n;
    for (int i = 1; i < up; ++i) siz[i] = siz[i & (i - 1)] + 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) ttt[1 << i] = i;
    for (int i = 1; i < up; ++i) ttt[i] = ttt[i & -i];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
      f[n - 1][i][0] = 0;
    for (int j = n - 2; ~j; --j)
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[j][i][0] = 0;
        for (int S = 1; S < up; ++S) if (((~S >> i) & 1) && (siz[S] <= n - j - 1))
          for (int S2 = S; S2; S2 = (S2 - 1) & S) if (f[j][i][S & ~S2] < f[j][i][S]) {
            int tmp = S2;
            for (int k = ttt[tmp]; tmp; k = ttt[tmp &= ~(1 << k)])
              if (d[i][k] < INF)
                f[j][i][S] = std::min(f[j][i][S],
                    (j + 1) * d[i][k] + f[j + 1][k][S2 & ~(1 << k)] + f[j][i][S & ~S2]);
          }
      }
    int ans = INF;
    for (int i = 0; i < n; ++i) ans = std::min(ans, f[0][i][(up - 1) & ~(1 << i)]);
    printf("%d
", ans);
  }
};
int main() {
  rqy::main();
  return 0;
}