在学到圆那边的时候，我们会碰到一道经典的题目：
已知直角三角形的三边长分别为 (a)，(b)，(c)，其中 (c) 对应直角，求此三角形内切圆的半径。
常见的方法有两种：
- 如图
如果对三边按切点分割，有联立方程
[x+y=a,quad x+z=b,quad y+z=c.
]
解得 $$r=x=frac{1}{2}(a+b-c).qquad (1)$$
- 如图
借助面积的分割可得
[frac{1}{2}ar+frac{1}{2}br+frac{1}{2}cr=frac{1}{2}ab.
]
即 $$r=frac{ab}{a+b+c}.qquad (2)$$
由于 ((1)) 与 ((2)) 相等，于是可得
[frac{1}{2}(a+b-c)=frac{ab}{a+b+c}.
]
化简即得勾股定理 $$a2+b2=c^2.$$
这个证明有几位老师看过，目前还没人说这里涉及了循环论证。
勾股定理的证明何其之多，我无意中发现的这个应该之前也被人发现了。不过我手头没有相关资料，不能查证。无论如何，这好歹是自己发现的“新”东西，这点很有安慰作用，我还是能弄点“新”东西出来的。希望自己再接再厉，将来能发现更有意思的东西。
2016.05补：这里见到一位网友小时候也给出了这个证明。