• 动态规划—币值最大化问题&&找零问题


    第一天先看些简单的例子:参考书籍:算法设计与分析基础第三版

    例1 《币值最大化问题》

    题目:给定一排n个硬币,其面值均为正整数c1,c2,...,cn,这些整数并不一定两两不同。请问如何选择硬币,使得在其原始位置互不相邻的条件下,所选硬币的总金额最大。

    分析:

      1.最大金额用F(n)表示,然后找到F(n)的递推关系,我们可以分成两组:一组是包含最后一个硬币的,另一组是不包含最后一个硬币的。

      2.那第一组:F(n) = cn+F(n-2);

          第二组:F(n) = F(n-1);

      即     F(n)=max{cn+F(n-2),F(n-1)},n>1

      3.再结合初始条件:F(0)=0(下标从1开始)0,F(1)=c1

    代码:

    public class demo_1 {
    static int[] c = new int[10];
    static int[] f = new int[10];
    static Scanner in = new Scanner(System.in);
    public static void main(String[] args) {
    int n = in.nextInt();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    c[i] = in.nextInt();
    }
    System.out.println(coinRow(n));
    }

    private static int coinRow(int n) {
    f[0] = 0;
    f[1] = c[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    f[i] = Math.max(c[i] + f[i-2], f[i-1]);
    }
    return f[n];
    }
    }

    测试数据:

      我们假设一排硬币是   5,1,2,10,6,2 。最大金额为17

    例2 《找零问题》

    题目:需找零金额为n,最少要用多少面值为d1<d2<…<dm的硬币?(m种面值的各种硬币,d1=1,数量无限)

    分析:

      1.设F(n)是在总金额为n的条件下,使用最少硬币的数量

      2.易知F(0) = 0,F(1) = 1;

      3.得到n的途径为 n-dj,然后加上一个面值为dj的硬币,因此 F(n) = min{F(n-dj)} + 1

    代码:

    public class demo_1 {
    static int[] c = new int[10];
    static int[] f = new int[10];
    static int sum; //总金额
    static Scanner in = new Scanner(System.in);
    public static void main(String[] args) {
    sum = in.nextInt();
    int n = in.nextInt(); //硬币种类
    c[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    c[i] = in.nextInt();
    }
    System.out.println(changeMaking(n));
    }

    private static int changeMaking(int n) {
    for (int i = 1; i <= sum; i++) {
    int temp = 99999999;
    int j = 1;
    while (j <= n && i >= c[j]) {
    temp = Math.min(f[i-c[j]], temp);
    j++;
    }
    f[i] = temp +1;
    }
    return f[sum];
    }
    }

    测试:sum = 6, n=3,币值分别为1,3,4  F6)= 2

    例3《硬币收集问题》下篇介绍

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/apex-wzw/p/10774580.html
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