前方数学警告
题目链接:https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=25&page=show_problem&problem=2275
https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11300
分析:
搞了这么久终于碰到一个数学题了，这也是本蒟蒻做的第一个数学题吧，值得纪念。
第一次看见这题的时候，嗯，好像是个暴力。。。然后就打了一个暴力，发现样例过了？但自己造了组数据就有了点问题，我暴力的思路是由于一个人只能给左边或右边，于是把这两种情况都枚举一下，取最小值就好，但有可能跑一遍不能让整个数组都变成我想要的那个值，故我又加了一个bool表示有无把所有数字都变成那个数，这么写肯定T啊。
我:万一数据水呢？
数据:我不水。
所以交上去果断T掉了，我又想验证一下这么写可不可以，找某人代码过来对拍了一下，然后结果是我竟然把一个A掉的代码给拍出了错解？嗯，看来写个暴力还是有收获的，我其实很想把那个代码粘上来的，但它88行有点长我没存不小心弄丢了，来看一下正解吧。
首先我最开始发现的那个性质是没有问题的，即每个人只会被它周围的人影响，一旦他周围的人的转移硬币数确定了，那么这个人的转移硬币数也可求，于是受这一点启发，不妨设(x_i)表示第(i)个人给第(i-1)个人的硬币数，当(i==1)时，为给(n)的硬币数。由于最后要求所有人金币一样（共产主义），所以最后每个人的金币数量是确定的，即(M=tot/n)，也就是说每个人最后都是(M)，于是有(A_i+x_{i+1}-x_i=M)，就是原来有的加上得到的减去失去的等于最终的，光看这个式子，这啥也看不出来啊，所以继续观察这个式子，发现它跟周围的式子相加会出现一个神奇的结果，我们加一下看看。
(A_1+x_2-x_1=M) 1
(A_2+x_3-x_2=M) 2
(A_3+x_4-x_2=M) 3
1+2得(A_1+A_2+x_3-x_1=M*2) -> (x_3=x_1-(A_1+A_2-M*2))
1+2+3得(x_4=x_1-(A_1+A_2+A_3-M*3))
………………
不难归纳得出(x_n=x_1-)(sum_{i=1}^n(A_{i-1}+(i-1)*M)())
有这个式子我们就可以很简单困难的求出答案了，设(B_i=)(sum_{i=1}^n(A_{i-1}+(i-1)*M)，(B)数组可以由递推得到，那么问题就简化成了在数组(B)中求一个数，使得剩余数到它的距离之和最小，答案是中位数，证明如下。
假设(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)有序，则(a_3)是中位数无疑，我们用线段来表示点与点之间的距离，可以看出蓝色框框内的线段是必不可少的，不管怎么划分都必须要有，如果这个点在(a_3)的左边，那么就会多出粉色的一截，在右边就会多出红色的一截，所以在中位数时是最小的。
那偶数呢？偶数不是有两个中位数吗？偶数时也画出一个这样的图，会发现当点在两个中位数之间距离都是一样的，并且是最小，所以为了方便，每次中位数都取(n+1>>1)就可以了。
中位数怎么找呢，排序一遍可以，但复杂度是(O(nlogn))的，如果要使数组有序，那么肯定是要(sort)的，这里只求中位数，所以可以用(nth)(element)，这个函数的用法是(nth)(element(A+a,b,A+c))，表示将数组A的区间([a,c))中第b大的数放在b位置上，不保证数组有序，但比这个数大的都在它前边，比它小的在它后边，平均时间复杂度(O(n))。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
ll a[N],b[N];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
while(cin>>n){
ll tot=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i],tot+=a[i],b[i]=0;
tot/=n;
for(int i=2;i<=n;i++)
b[i]=b[i-1]+a[i]-tot;
int mid=n+1>>1;
nth_element(b+1,b+mid,b+n+1);
ll temp=b[mid],res=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
res+=abs(temp-b[i]);
cout<<res<<'
';
}
}
tips:cout<<endl的确比cout<<' '慢一点。