【思维题 欧拉图】loj#10106. 单词游戏

巧妙的模型转化

题目描述

来自 ICPC CERC 1999/2000，有改动。

有 NNN 个盘子，每个盘子上写着一个仅由小写字母组成的英文单词。你需要给这些盘子安排一个合适的顺序，使得相邻两个盘子中，前一个盘子上单词的末字母等于后一个盘子上单词的首字母。请你编写一个程序，判断是否能达到这一要求。如果能，请给出一个合适的顺序。

输入格式

多组数据。第一行给出数据组数 TTT，每组数据第一行给出盘子数量 NNN，接下去 NNN 行给出小写字母字符串，一种字符串可能出现多次。

输出格式

若存在一组合法解输出Ordering is possible.，否则输出The door cannot be opened.。

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题目分析

看到题最自然的想法当然是求哈密尔顿路。然而哈密尔顿路并没有什么好的性质，所以考虑另一种建模：欧拉图。

每一个单词有用的信息只有首尾两个字母，那么建一张图令节点表示小写字母；边表示一种单词的转移。问题就变成了在图中判断欧拉路径的存在性。

若有向图G存在欧拉路径（即为半欧拉图），那么当且仅当G的基图联通且存在顶点$u$的入度比出度大1，$v$的入度比出度小1，其他所有顶点的入度等于出度。

代码内有些处理细节的精妙之处。

#include<bits/stdc++.h>

int T,n,m;
char s[1035];
int fa[35],u[35],v[35],cnt,cnt1,cnt2;

int get(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=get(fa[x]);}
int abs(int a){return a>0?a:-a;}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        memset(u, 0, sizeof u);
        memset(v, 0, sizeof v);
        scanf("%d",&n);
        cnt = cnt1 = cnt2 = 0;
        for (int i=1; i<=30; i++) fa[i] = i;
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%s",s+1), m = strlen(s+1);
            int l = s[1]-'a'+1, r = s[m]-'a'+1;
            fa[get(l)] = get(r), u[l]++, v[r]++;
        }
        for (int i=1; i<=26; i++)
            if (((u[i]||v[i])&&(get(i)==i))||abs(u[i]-v[i]) > 1) cnt++;
　　　　　　　　　　//连通块个数的统计　　　　　　　　　　//出入度不相等的点个数
        if (cnt > 1){
            puts("The door cannot be opened.");
            continue;
        }
        for (int i=1; i<=26; i++)
            if (u[i] > v[i]) cnt1++;
            else if (u[i] < v[i]) cnt2++;
        if (cnt1!=cnt2||cnt1 > 1)
            puts("The door cannot be opened.");
        else puts("Ordering is possible.");
    }
    return 0;
} 

END