二进制拆位计算贡献
题目描述
树状数组是一种常用的数据结构，下面是树状数组用于给区间 [1,x] 内的数加 t 的代码：
1 void add(int x,int t){ 2 for (int i=x;i;i-=(i&(-i))){ 3 cnt[i]+=t; 4 } 5 }
当你要给 [l,r] 区间加 x 时，肯定是先给 [1,l−1] 加 −x，然后给 [1,r] 加 x
令 f(l,r) 为：在 cnt 数组一开始为 0 的情况下给区间[l,r]区间加1后，cnt 数组有多少位置不为0。
现在给定 n，求 sum_{l=1}^{n} sum_{r=1}^{n} f(l,r)，对1e9+7取模
输入格式
第一行 T
T 行， 一个 n
输出格式
T 行答案
数据范围
1≤n≤10^18,1≤T≤10^4
题目分析
这题主流做法是数位dp。不过从hdu5921Binary Indexed Tree学习到一种拆位算贡献的方法
（但是请注意！上面引用的这篇博客关于f(i),g(i)的分析有写错的地方！）
本题树状数组求的是后缀和；而∑f(l,r)求的是l-1和r这两个数在依次减去lowbit的过程中不同的数的个数：那么只有当l-1和r变成lcp(l-1,r)时，接下去的数才会相同。
记g(i)为i二进制中1的个数，所求即
（公式崩了只能用图片）
经过上面分析之后，问题相当于转变为求∑g(i)和Σg(lcp(l-1,r))。由于数据范围是10^18级别，显然我们需要log算法。
将n二进制拆位，考虑从右往左第$i$位的贡献。记[i+1...lens]在十进制下为nxt[i+1]，[1...i-1]在十进制下为pre[i-1]。
1.计算gi第一步：左边的数不改变
那么为了不大于原数，右边的数应取0...pre[i-1]。
当ai==1时，有pre[i-1]+1的贡献
2.计算gi第二步：左边的数可改变
与上一种情况相对应，左边的数应取0...nxt[i+1]-1.那么此时右边的数可以任意取值，有2^i种取值。
所以这种情况下，无论ai取值如何，都有nxt[i+1]*2^i的贡献。
至于还要处理两两lcp的部分，则与之类似。由于是数对之间的负贡献，算的时候再多乘上去就好了。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 typedef long long ll; 3 const ll MO = 1000000007; 4 5 int T,bin[103],lens; 6 ll n,ans,power[103],pre[103],nxt[103]; 7 8 ll read() 9 { 10 char ch = getchar(); 11 ll num = 0; 12 bool fl = 0; 13 for (; !isdigit(ch); ch=getchar()) 14 if (ch=='-') fl = 1; 15 for (; isdigit(ch); ch=getchar()) 16 num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48; 17 if (fl) num = -num; 18 return num; 19 } 20 int main() 21 { 22 T = read(), power[0] = 1; 23 for (int i=1; i<=60; i++) power[i] = (power[i-1]<<1)%MO; 24 while (T--) 25 { 26 n = read(), ans = lens = 0; 27 for (ll x=n; x; x>>=1) bin[++lens] = x&1; 28 pre[0] = nxt[lens+1] = 0; 29 for (int i=1; i<=lens; i++) pre[i] = (pre[i-1]+power[i-1]*bin[i])%MO; 30 for (int i=lens; i>=1; i--) nxt[i] = ((nxt[i+1]<<1)+bin[i])%MO; 31 for (int i=1; i<=lens; i++) 32 { 33 if (bin[i]) pre[i-1]++, ans = (ans+pre[i-1])%MO; 34 ans = (ans+nxt[i+1]*power[i-1]%MO)%MO; 35 } 36 ans = (n+1ll)%MO*ans%MO; 37 for (int i=1; i<=lens; i++) 38 { 39 if (bin[i]) ans = (ans+MO-pre[i-1]*pre[i-1]%MO)%MO; 40 ans = (ans-nxt[i+1]*power[i-1]%MO*power[i-1]%MO+MO)%MO; 41 } 42 printf("%lld ",ans); 43 } 44 return 0; 45 }
END