【数位dp】bzoj3209: 花神的数论题

Description

背景
众所周知，花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。
描述
话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。
花神的题目是这样的
设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ，花神要问你
派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。

Output

一个数，答案模 10000007 的值。

Sample Input

样例输入一
3

Sample Output

样例输出一

2

HINT

对于样例一，1*1*2=2；

数据范围与约定

对于 100% 的数据，N≤10^15

---

题目分析

是一道入门的数位dp（组合数）题。

但是这题结合了很多出题人的恶意，并且具有一定的启示作用。

#include<bits/stdc++.h>
const int MO = 10000007;

int ans,pre;
int f[103][103];
int digit[23];
long long n;

int qmi(int a, int b)
{
    int ret = 1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ret = 1ll*ret*a%MO;
        a = 1ll*a*a%MO;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    f[0][0] = 1, ans = 1;
    for (n++; n; n>>=1) digit[++digit[0]] = n&1;
    for (int i=1; i<=digit[0]; i++)
    {
        f[i][0] = 1;
        for (int j=1; j<=i; j++)
            f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-1];　　　　//预处理组合数
    }
    for (int i=digit[0]; i; i--)
        if (digit[i]){
            for (int j=i-1; j>=1; j--)
                ans = 1ll*ans*qmi(pre+j, f[i-1][j])%MO;
            pre++;
        }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

最初会自然地想到上面这种dp方法。

但是！这里的细节显然崩坏了。

二进制拆分

int digit[23];

二进制拆分时候$digit[]$干嘛开这么小啊……注意要大概开个三倍。

组合数取模

    for (int i=1; i<=digit[0]; i++)
    {
        f[i][0] = 1;
        for (int j=1; j<=i; j++)
            f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-1];
    }

这里组合数不取模显然是会溢出的。但是，重点是取什么模呢？可能会不假思索地%1e7+7，然而实际上1e7+7并不是一个素数，所以这里要回到欧拉定理，我们有$φ(1e7+7)=9988440$。再者就是注意这里只有组合数需要对$φ(1e7+7)$取模。

溢出会RE；或是莫名其妙TLE。

dp的转移

    for (int i=digit[0]; i; i--)
        if (digit[i]){
            for (int j=i-1; j>=1; j--)
                ans = 1ll*ans*qmi(pre+j, f[i-1][j])%MO;
            pre++;
        }

注意到这里内层的$j>=1$，但是由于后面的元素可以不选，事实上$j$应该$>=0$才对。

手调时候会发现当$j=0,pre=0$时，$ans$就等于0了。

所以还要在快速幂里特判一层： if (!a) return 1; 。

正确代码

#include<bits/stdc++.h>
const int MO = 10000007;

int ans,pre;
int f[103][103];
int digit[53];
long long n;

int qmi(int a, int b)
{
    if (!a) return 1;
    int ret = 1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ret = 1ll*ret*a%MO;
        a = 1ll*a*a%MO;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    f[0][0] = 1, ans = 1;
    for (n++; n; n>>=1) digit[++digit[0]] = n&1;
    for (int i=1; i<=digit[0]; i++)
    {
        f[i][0] = 1;
        for (int j=1; j<=i; j++)
            f[i][j] = (f[i-1][j]+f[i-1][j-1])%9988440;
    }
    for (int i=digit[0]; i; i--)
        if (digit[i]){
            for (int j=i-1; j>=0; j--)
                ans = 1ll*ans*qmi(pre+j, f[i-1][j])%MO;
            pre++;
        }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

END