【dp】拔河比赛

01背包；感谢ZCK大佬

题目描述

学校举行拔河比赛，所有的人被分成了两组，每个人必须（且只能够）在其中的一组，要求两个组的人数相差不能超过1，且两个组内的所有人体重加起来尽可能地接近。

输入

输入中的第一行只有一个整数n（1≤n≤100），第二行有n个以空格分隔的整数，表示每人的体重wi（所有的wi均满足：1≤wi≤450）。

输出

输出只有一行，该行有两个整数，以一个空格分隔。第一个数表示体重较大的组的体重总和，第二个数表示体重较小的组的体重总和。

题面看上去很短，题意也很好理解：就是将n个人分成两组，在人数差不大于1的情况下使它们差最小。

用cnt表示它们的体重之和，则是使两组重量之和尽可能接近cnt / 2。那么就是在cnt / 2的空间里尽可能地使选入的人重。乍一看跟“挤牛奶”没区别，都是两维的dp其中增加一位限制人数。i，j，k三维循环，

for (int i=1; i<=n; i++)
    for (int j=i; j>=1; j--)
        for (int k=cnt; k>=a[i]; k--)
因为每个人只能选一次，所以j，k逆序

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先来讲讲我最早的想法：

这是一份80，一份90的代码

初始化是f[][] = 0

在这种dp[][]方程的定义下，f[i][j]表示1..i人，凑成0..j范围内能凑成的最大重量（我知道这非常奇怪。事实上，在请教ZCK之前我甚至以为这个f[i][j]表示i个人能否凑出j。所以我发现"当f[i][j] != 0时，f[i][j] != j "这个现象时候才开始怀疑我的dp方程） 

f[j][k] = max(f[j][k], f[j-1][k-a[i]]+a[i]);

在最终选取ans的时候，由于我们希望ans最接近cnt / 2，那么循环是“cnt / 2 ... 1“的，则ans = max{f[n / 2][]}。在这种情况下，不能够只判断 f[n / 2][i] 。虽然这看上去很有道理——如果n是奇数，用cnt - f[n / 2][i]就是奇数那一队的人数嘛！ZCK解释说：“f[n / 2][] 和 f[n / 2+1][] (n为奇数)是两条不同的数轴，不能保证f[n / 2][]上最接近cnt / 2的值比f[n / 2+1][]上的更优。”由于我们枚举的f[n / 2][] ≤ cnt / 2，那么对应的f[n / 2+1][]就是 ≥ cnt / 2的。有可能n / 2+1人能凑出更接近cnt / 2的！

可能会想到：既然dp时候已经把f[][cnt ... 1]都表示出来了，那么只需要在寻找ans的时候改动一下，变成这样

for (int j=cnt; j>=1; j--)
{
     if (abs(cnt - 2*f[n/2][j]) < abs(cnt-2*ans))ans = f[n/2][j]
}

实际上，这样的判断只有70分。

并不是因为寻找ans的过程有问题，是因为f[][]所表示的东西不是我们想要的

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这原因是初始化。

memset(f,-127,sizeof(f));　　将f初始化为一个很小很小的数，这样f[i][j]表示的东西就不一样了
f[0][0]=0;　　必要的

这样改了之后，只需要"cnt ... 1"判f[n / 2][]即可.

当然"cnt / 2 ... 1"判f[n / 2][], f[n / 2+1][]也可

因为我的dp方程太凌乱了……为了阿掉这题爆交共30+……

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ZCK：你的dp方程到底想表示什么？？？直接bool不就好了吗

bool f[103][45035];

实际上，这的确是最简洁而且dp方程表示最明确的一种方法……

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讲了这么多，实际上只是想说明dp方程的 定义 和 初始化 对于dp来说有多么重要。短短的一句初始语句或者在脑海中闪过一瞬的dp方程碎片，就足以上演化爆零为AC的奇迹。一个max和一个if看上去没多大差别，事实上后续的处理可能失之千里。考虑问题要仔细全面，这绝对不是一句空话。