【卡常 bitset 分块】loj#6499. 「雅礼集训 2018 Day2」颜色

 好不容易算着块大小，裸的分块才能过随机极限数据；然而这题在线的数据都竟然是构造的……

题目描述

有 $n$ 个数字，第 $i$ 个数字为 $a_i$。

有 $m$ 次询问，每次给出 $k_i$ 个区间，每个区间表示第 $l_{i, j}$ 到 $r_{i, j}$ 的数字，求这些区间中一共出现了多少种不同的数字。

部分数据强制在线。

第一行包含三个整数 $n, m, p$，$p$ 为 $0$ 或 $1$ 表示是否强制在线。

第二行 $n$ 个正整数，第 $i$ 个表示 $a_i$。

接下来依次给出每个询问，每个询问第一行一个正整数，表示 $k_i$，接下来 $k_i$ 行，每行两个正整数，分别表示 $l_{i, j}$ 和 $r_{i, j}$，若 $p = 1$ 且这不是第一个询问，输入的 $l_{i, j}$ 和 $r_{i, j}$ 是经过加密的，你需要将这两个数字分别异或上上一个询问的答案，对 $n$ 取模后再加 $1$，两者较小值为真实的 $l_{i, j}$，较大值为真实的 $r_{i, j}$。

对于全部数据，$1 leq n, m, sum k_i, a_i leq 10^5, 1 leq l_{i, j} leq r_{i, j} leq n$。

• 子任务 $ m 1(points:10)$：$n, m, sum k_i, a_i leq 5000$
• 子任务 $ m 2(points:10)$：$n, m, leq 5000$
• 子任务 $ m 3(points:20)$：$k_i = 1$
• 子任务 $ m 4(points:20)$: $p = 0$
• 子任务 $ m 5(points:20)$：$1 leq n, m, sum k_i, a_i leq 50000$
• 子任务 $ m 6(points:20)$：无特殊限制

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题目分析

首先会有一个朴素的分块想法：将序列分块，每个块维护一个bitset。

但是我们会很快意识到bitset一次或操作的复杂度是$O(值域)$的，这么大的复杂度显然我们无法接受。这个想法的最大瓶颈在于中间连续一段bitset的操作复杂度太高。

用以维护分块处理这个瓶颈的方法有两种：线段树/ST表，也就是用基础的区间数据结构来维护一段区间的bitset值。

让我们冷静分析一下这两种方法的复杂度：

我们很容易想到用`bitset`做，先不管空间限制的话会想到这两种方法：

• 1. 线段树：构造 $O({ n^2overomega })​$ ，询问 $O({ n^2overomega }log_2n)​$ 。
• 2. ST表：构造 $O({ n^2overomega }log_2n)$ ，询问 $O({ n^2overomega })$ 。

都是无法承受的，于是考虑分块来降低复杂度，只记录块之间的信息：

• 1. 线段树：构造 $O({ n^2overomega S })$ ，询问 $O({ n^2overomega }log_2{ nover S }+nS)$ 。
• 2. ST表：构造 $O({ n^2overomega S }log_2{ nover S })$ ，询问 $O({ n^2overomega }+nS)$ 。

发现线段树的那个 $log_2{nover S}$ 搞不掉，于是gg了，而ST表 $S$ 设置的正常点复杂度都没什么问题。

不过这道题卡内存，所以 $S$ 需要给大点。

这是一个非常规分块的技巧，好像叫四毛子算法？

——摘自ZZK的题解

那么，只需要手写bitset+卡常+分块就可以解决这题了。

#include<bits/stdc++.h>
const int maxn = 100013;
const int maxp = (100000>>5)+3;
const int maxt = (1<<16)-1;
const int maxb = 73;

int a[maxn],dt[maxn],lg2[maxn],t[maxn],tot;
struct bitset
{
    unsigned int a[maxp];
    bitset operator |(bitset b) const
    {
        bitset c;
        for (int i=0; i<=tot; i++)
            c.a[i] = a[i]|b.a[i];
        return c;
    }
    void reset()
    {
        for (int i=0; i<=tot; i++) a[i] = 0;
    }
    void set(int x)
    {
        a[x>>5] |= 1u<<(x&31);
    }
    int count()
    {
        int ret = 0;
        for (int i=0; i<=tot; i++)
            ret += dt[a[i]>>16]+dt[a[i]&maxt];
        return ret;
    }
}f[maxb][9],ans;
int n,m,p,lastans;
int blk[maxn],size,bkTot;

int read()
{
    char ch = getchar();
    int num = 0, fl = 1;
    for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
        if (ch=='-') fl = -1;
    for (; isdigit(ch); ch=getchar())
        num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
    return num*fl;
}
void init()
{
    for (int i=1, Mx=65535; i<=Mx; i++)
        for (int x=i; x; x&=(x-1)) ++dt[i];
    for (int i=2, Mx=100000; i<=Mx; i++)
        lg2[i] = lg2[i>>1]+1;
}
void deal(int l, int r)
{
    int ls = blk[l], rs = blk[r];
    if (ls==rs){
        for (int i=l; i<=r; i++) ans.set(a[i]);
        return;
    }
    for (int i=l; blk[i]==ls; i++) ans.set(a[i]);
    for (int i=r; blk[i]==rs; i--) ans.set(a[i]);
    if (ls+1 < rs){
        int t = lg2[rs-ls-1];
        ans = ans|f[ls+1][t]|f[rs-(1<<t)][t];
    }
}
int main()
{
    n = read(), m = read(), p = read();
    init(), size = sqrt(1.2*n*log2(n+1)), bkTot = n/size+1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        t[i] = a[i] = read(), blk[i] = i/size+1;
    std::sort(t+1, t+n+1);
    tot = std::unique(t+1, t+n+1)-t-1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        a[i] = std::lower_bound(t+1, t+tot+1, a[i])-t,
        f[blk[i]][0].set(a[i]);
    tot >>= 5;
    for (int j=1; j<=lg2[bkTot]; j++)
        for (int i=1; i+(1<<j)-1<=bkTot; i++)
            f[i][j] = f[i][j-1]|f[i+(1<<(j-1))][j-1];
    for (int tim=0; m; --m, ++tim)
    {
        ans.reset();
        for (int k=read(); k; --k)
        {
            int l = read(), r = read();
            if (p&&tim) l = (l^lastans)%n+1, r = (r^lastans)%n+1;
            if (l > r) std::swap(l, r);
            deal(l, r);
        }
        lastans = ans.count();
        printf("%d
",lastans);
    }
    return 0;
}

END