[Luogu] P5512 棋盘问题（2）【加强】

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Description

在(N imes N)的棋盘上((1≤N≤10))，填入(1,2,…,N^2)共(N^2)个数，使得任意两个相邻的数之和为素数。约定：左上角的格子里必须填数字(1)。如有多种解，则输出第一行、第一列之和为最小的排列方案；若无解，则输出 NO。

Solution

搜索好题。

纯爆搜是肯定过不去的，考虑如何优化。

可以先把(2N^2)范围内的质数算出来，然后预处理出每个数可能相邻的数有什么。因为要第一行、第一列之和为最小，可以先把第一行、第一列尽量搜小的搜出来，如果当前和比最小的可行解大就剪掉，然后再搜剩下的。但这样还是不够。

考虑第一行、第一列之和的理论下界。如果这(2N-1)个位置分别填(1sim{2N-1})，则理论最小为(N(2N-1))。但其实这只是对(N)为奇数的，偶数的下界其实是(N(2N-1)+1)。这是因为两个相邻的位置只能填一奇一偶，然后(1)已经定死了，所以每个位置填的数的奇偶性已经确定了。当(N)为偶数时，下界如果要达到(N(2N-1))，则必须依次填入(1sim{2N-1})，有(N)个奇数，(N-1)个偶数。但因为奇偶性限定，第一行、第一列必须填入(N)个偶数，(N-1)个奇数，矛盾。所以偶数的理论下界至少是(N(2N-1)+1)。

知道下界有什么用呢？考虑当(N)比较大的时候，有非常多种填数方案，我们总能找到一种，满足第一行、第一列之和达到理论下界。所以只要我们能找到一种方案达到下界，它就一定是最优的，直接输出即可。否则如果(N)比较小，找不到方案达到下界，就直接爆搜即可。可以发现，当(Nge6)时，是可以找到的。

这样一通剪完枝后，其实已经跑的非常快了，不算打表的可以排到(Rank 1)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include <unistd.h>

using namespace std;

vector < int > leg[1005][1005];

int n, tot, t, fl, nw, lim, mn_f = 1e9, mn_s = 1e9, vis[20005], pr[5005], bk[20005], hd[100005], to[200005], nxt[200005], used[10005], cnt[1005][1005], out[1005][1005];

int read()
{
	int x = 0, fl = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') fl = -1; ch = getchar();}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; ch = getchar();}
	return x * fl;
}

void add(int x, int y)
{
	tot ++ ;
	to[tot] = y;
	nxt[tot] = hd[x];
	hd[x] = tot;
	return;
}

void dfs3(int x, int y)
{
	if (y == n + 1)
	{
		x ++ ;
		y = 2;
	}
	if (x == n + 1)
	{
		fl = 1;
		mn_s = nw;
		if (nw == lim)
		{
			for (int i = 1; i <= n; i ++ )
				for (int j = 1; j <= n; j ++ )
					printf("%d%c", cnt[i][j], j == n ? '
' : ' ');
			exit(0);
		}
	    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
			for (int j = 1; j <= n; j ++ )
				out[i][j] = cnt[i][j];
		return;
	}
	for (int p = 0; p < (int)leg[cnt[x - 1][y]][cnt[x][y - 1]].size(); p ++ )
	{
		int d = leg[cnt[x - 1][y]][cnt[x][y - 1]][p];
		if (used[d]) continue;
		used[d] = 1;
		cnt[x][y] = d;
		dfs3(x, y + 1);
		used[d] = 0;
		cnt[x][y] = 0;
	}
	return;
}

void dfs2(int x, int sum)
{
	if (sum > mn_f || sum > mn_s || (sum > lim && n >= 6)) return;
	if (x == n + 1)
	{
		fl = 0;
		nw = sum;
		dfs3(2, 2);
		if (fl) mn_f = sum;
		return;
	}
	for (int i = hd[cnt[x - 1][1]]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i];
		if (used[y]) continue;
		used[y] = 1;
		cnt[x][1] = y;
		dfs2(x + 1, sum + y);
		used[y] = 0;
	}
	return;
}

void dfs1(int x, int sum)
{
	if (x == n + 1)
	{
		dfs2(2, sum);
		return;
	}
	for (int i = hd[cnt[1][x - 1]]; i; i = nxt[i])
	{
		int y = to[i];
		if (used[y]) continue;
		used[y] = 1;
		cnt[1][x] = y;
		dfs1(x + 1, sum + y);
		used[y] = 0;
	}	
	return;
}

int main()
{
	n = read();
	if (n % 2) lim = n * (2 * n - 1);
	else lim = n * (2 * n - 1) + 1;
	if (n == 1 || n == 3)
	{
		puts("NO");
		return 0;
	}
	for (int i = 2; i <= 2 * n * n; i ++ )
	{
		if (!vis[i])
		{
			vis[i] = i;
			pr[ ++ t] = i;
			bk[pr[t]] = 1;
		}
		for (int j = 1; j <= t; j ++ )
		{
			if (pr[j] > vis[i] || i * pr[j] > 2 * n * n) break;
			vis[i * pr[j]] = pr[j];
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n * n; i ++ )
		for (int j = t; j >= 1; j -- )
			if (pr[j] > i && (i < pr[j] - i))
				add(i, pr[j] - i), add(pr[j] - i, i);
	for (int i = 1; i <= n * n; i ++ )
		for (int j = 1; j <= n * n; j ++ )
			for (int k = 1; k <= n * n; k ++ )
				if (bk[i + k] && bk[j + k])
					leg[i][j].push_back(k);
	cnt[1][1] = out[1][1] = 1; used[1] = 1;
	dfs1(2, 1);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for(int j = 1; j <= n; j ++ )
			printf("%d%c", out[i][j], j == n ? '
' : ' ');
	return 0;
}