• 一步一步写平衡二叉树(AVL树)


    一步一步写平衡二叉树(AVL树)

    作者:C小加 更新时间:2012-8-20

      平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是二叉查找树的一个进化体,也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年,G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树,所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说,它的左右子树的高度之差不能超过1,如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1,就要进行节点之间的旋转,将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题,把插入,查找,删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间,不过相对二叉查找树来说,时间上稳定了很多。

      平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的(学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树),区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡,维持平衡需要借助一个节点高度的属性。我参考了机械工业出版社的《数据结构与算法分析-C语言描述》写了一个C++版的代码。这本书的AVLTree讲的很好,不过没有很完整的去描述。我会一步一步的讲解如何写平衡二叉树,重点是平衡二叉树的核心部分,也就是旋转算法。

    第一步:节点信息

      相对于二叉查找树的节点来说,我们需要用一个属性二叉树的高度,目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。

    代码如下:

    //AVL树节点信息
    template<class T>
    class TreeNode
    {
        public:
            TreeNode():lson(NULL),rson(NULL),freq(1),hgt(0){}
            T data;//
            int hgt;//以此节点为根的树的高度
            unsigned int freq;//频率
            TreeNode* lson;//指向左儿子的地址
            TreeNode* rson;//指向右儿子的地址
    };

    第二步:平衡二叉树类的声明

      声明中的旋转函数将在后边的步骤中详解。

    代码如下:

    //AVL树类的属性和方法声明
    template<class T>
    class AVLTree
    {
        private:
            TreeNode<T>* root;//根节点
            void insertpri(TreeNode<T>* &node,T x);//插入
            TreeNode<T>* findpri(TreeNode<T>* node,T x);//查找
            void insubtree(TreeNode<T>* node);//中序遍历
            void Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x);//删除
            int height(TreeNode<T>* node);//求树的高度
            void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2);//左左情况下的旋转
            void SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2);//右右情况下的旋转
            void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3);//左右情况下的旋转
            void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3);//右左情况下的旋转
            int Max(int cmpa,int cmpb);//求最大值
    
        public:
            AVLTree():root(NULL){}
            void insert(T x);//插入接口
            TreeNode<T>* find(T x);//查找接口
            void Delete(T x);//删除接口
            void traversal();//遍历接口
    
    };

    第三步:两个辅助方法

      旋转算法需要借助于两个功能的辅助,一个是求树的高度,一个是求两个高度的最大值。这里规定,一棵空树的高度为-1,只有一个根节点的树的高度为0,以后每多一层高度加1。为了解决指针NULL这种情况,写了一个求高度的函数,这个函数还是很有必要的。

    代码如下:

    //计算以节点为根的树的高度
    template<class T>
    int AVLTree<T>::height(TreeNode<T>* node)
    {
        if(node!=NULL)
            return node->hgt;
        return -1;
    }
    //求最大值
    template<class T>
    int AVLTree<T>::Max(int cmpa,int cmpb)
    {
        return cmpa>cmpb?cmpa:cmpb;
    }

    第四步:旋转

      对于一个平衡的节点,由于任意节点最多有两个儿子,因此高度不平衡时,此节点的两颗子树的高度差2.容易看出,这种不平衡出现在下面四种情况:

      1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2,左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点,这种情况成为左左

      2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2,左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点,这种情况成为左右

      3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2,右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点,这种情况成为右左

      4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2,右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点,这种情况成为右右

      从图2中可以可以看出,1和4两种情况是对称的,这两种情况的旋转算法是一致的,只需要经过一次旋转就可以达到目标,我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的,这两种情况的旋转算法也是一致的,需要进行两次旋转,我们称之为双旋转。

    第五步:单旋转

      单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案,这两种情况是对称的,只要解决了左左这种情况,右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案,节点k2不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的左子树X子树,所以属于左左情况。

      为使树恢复平衡,我们把k1变成这棵树的根节点,因为k2大于k1,把k2置于k1的右子树上,而原本在k1右子树的Y大于k1,小于k2,就把Y置于k2的左子树上,这样既满足了二叉查找树的性质,又满足了平衡二叉树的性质。

      这样的操作只需要一部分指针改变,结果我们得到另外一颗二叉查找树,它是一棵AVL树,因为X向上一移动了一层,Y还停留在原来的层面上,Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同,插入操作使得X高度长高了。因此,由于这颗子树高度没有变化,所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。

    代码如下:

    //左左情况下的旋转
    template<class T>
    void AVLTree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2)
    {
        TreeNode<T>* k1;
        k1=k2->lson;
        k2->lson=k1->rson;
        k1->rson=k2;
    
        k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
        k1->hgt=Max(height(k1->lson),k2->hgt)+1;
    }
    //右右情况下的旋转
    template<class T>
    void AVLTree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2)
    {
        TreeNode<T>* k1;
        k1=k2->rson;
        k2->rson=k1->lson;
        k1->lson=k2;
    
        k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
        k1->hgt=Max(height(k1->rson),k2->hgt)+1;
    }

    第六步:双旋转

      对于左右和右左这两种情况,单旋转不能使它达到一个平衡状态,要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案,同样的,这样两种情况也是对称的,只要解决了左右这种情况,右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案,节点k3不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的右子树k2子树,所以属于左右情况。

       为使树恢复平衡,我们需要进行两步,第一步,把k1作为根,进行一次右右旋转,旋转之后就变成了左左情况,所以第二步再进行一次左左旋转,最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。

    代码如下:

    //左右情况的旋转
    template<class T>
    void AVLTree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3)
    {
        SingRotateRight(k3->lson);
        SingRotateLeft(k3);
    }
    //右左情况的旋转
    template<class T>
    void AVLTree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3)
    {
        SingRotateLeft(k3->rson);
        SingRotateRight(k3);
    }

     第七步:插入

      插入的方法和二叉查找树基本一样,区别是,插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径,每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。

    代码如下:

    //插入
    template<class T>
    void AVLTree<T>::insertpri(TreeNode<T>* &node,T x)
    {
        if(node==NULL)//如果节点为空,就在此节点处加入x信息
        {
            node=new TreeNode<T>();
            node->data=x;
            return;
        }
        if(node->data>x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入x
        {
            insertpri(node->lson,x);
            if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
                if(x<node->lson->data)
                    SingRotateLeft(node);
                else
                    DoubleRotateLR(node);
        }
        else if(node->data<x)//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中插入x
        {
            insertpri(node->rson,x);
            if(2==height(node->rson)-height(node->lson))//如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转
                if(x>node->rson->data)
                    SingRotateRight(node);
                else
                    DoubleRotateRL(node);
        }
        else ++(node->freq);//如果相等,就把频率加1
        node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson));
    }
    //插入接口
    template<class T>
    void AVLTree<T>::insert(T x)
    {
        insertpri(root,x);
    }

    第八步:查找

    和二叉查找树相比,查找方法没有变法,不过根据存储的特性,AVL树能维持在一个O(logN)的稳定的时间,而二叉查找树则相当不稳定。

    代码如下:

    //查找
    template<class T>
    TreeNode<T>* AVLTree<T>::findpri(TreeNode<T>* node,T x)
    {
        if(node==NULL)//如果节点为空说明没找到,返回NULL
        {
            return NULL;
        }
        if(node->data>x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x
        {
            return findpri(node->lson,x);
        }
        else if(node->data<x)//如果x大于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x
        {
            return findpri(node->rson,x);
        }
        else return node;//如果相等,就找到了此节点
    }
    //查找接口
    template<class T>
    TreeNode<T>* AVLTree<T>::find(T x)
    {
        return findpri(root,x);
    }

    第九步:删除

      删除的方法也和二叉查找树的一致,区别是,删除完成后,需要从删除节点的父亲开始向上维护树的平衡一直到根节点。

    代码如下:

    //删除
    template<class T>
    void AVLTree<T>::Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x)
    {
        if(node==NULL) return ;//没有找到值是x的节点
        if(x < node->data)
        {
             Deletepri(node->lson,x);//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x
             if(2==height(node->rson)-height(node->lson))
                if(node->rson->lson!=NULL&&(height(node->rson->lson)>height(node->rson->rson)) )
                    DoubleRotateRL(node);
                else
                    SingRotateRight(node);
        }
    
        else if(x > node->data)
        {
             Deletepri(node->rson,x);//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中删除x
             if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
                if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
                    DoubleRotateLR(node);
                else
                    SingRotateLeft(node);
        }
    
        else//如果相等,此节点就是要删除的节点
        {
            if(node->lson&&node->rson)//此节点有两个儿子
            {
                TreeNode<T>* temp=node->rson;//temp指向节点的右儿子
                while(temp->lson!=NULL) temp=temp->lson;//找到右子树中值最小的节点
                //把右子树中最小节点的值赋值给本节点
                node->data=temp->data;
                node->freq=temp->freq;
                Deletepri(node->rson,temp->data);//删除右子树中最小值的节点
                if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
                {
                    if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
                        DoubleRotateLR(node);
                    else
                        SingRotateLeft(node);
                }
            }
            else//此节点有1个或0个儿子
            {
                TreeNode<T>* temp=node;
                if(node->lson==NULL)//有右儿子或者没有儿子
                node=node->rson;
                else if(node->rson==NULL)//有左儿子
                node=node->lson;
                delete(temp);
                temp=NULL;
            }
        }
        if(node==NULL) return;
        node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson))+1;
        return;
    }
    //删除接口
    template<class T>
    void AVLTree<T>::Delete(T x)
    {
        Deletepri(root,x);
    }

    第十步:中序遍历

    代码如下:

    //中序遍历函数
    template<class T>
    void AVLTree<T>::insubtree(TreeNode<T>* node)
    {
        if(node==NULL) return;
        insubtree(node->lson);//先遍历左子树
        cout<<node->data<<" ";//输出根节点
        insubtree(node->rson);//再遍历右子树
    }
    //中序遍历接口
    template<class T>
    void AVLTree<T>::traversal()
    {
        insubtree(root);
    }

    第十一步:关于效率

      此数据结构插入、查找和删除的时间复杂度均为O(logN),但是插入和删除需要额外的旋转算法需要的时间,有时旋转过多也会影响效率。

      关于递归和非递归。我用的是递归的方法进行插入,查找和删除,而非递归的方法一般来说要比递归的方法快很多,但是我感觉非递归的方法写出来会比较困难,所以我还是选择了递归的方法。

      还有一种效率的问题是关于高度信息的存储,由于我们需要的仅仅是高度的差,不需要知道这棵树的高度,所以只需要使用两个二进制位就可以表示这个差。这样可以避免平衡因子的重复计算,可以稍微的加快一些速度,不过代码也丧失了相对简明性和清晰度。如果采用递归写法的话,这种微加速就更显得微乎其微了。

      如果有哪些不对的或者不清晰的地方请指出,我会修改并加以完善。

       附:完整代码

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