正态分布的密度函数，可以一般化地写为
[f(x) = k expleft[-dfrac{1}{2}(x-b)' A (x-b)
ight]
]
事实上，如果某个多维随机变量的密度函数可以写成该形式，那么它就服从正态分布。其中(b)是均值，正定矩阵(A)是协方差矩阵的逆，它们共同决定的正态分布的形式。而另外一个字母(k)，仅仅是归一化系数，它是满足整个密度函数的积分等于(1)的那个值。
如果有人背过公式，会发现这个系数的形式比较复杂。本文具体来看看，它是怎么计算出来的。
由于(A)是正定的，必有分解(A=CC')。先做个变换，令(x-b=(C')^{-1}y)，那么
[(x-b)' A (x-b) = y' C^{-1}A(C')^{-1}y = y'y
]
同时，该变换的Jacobian matrix为(J = det [(C')^{-1}]=1/det(C))。
假设(x)是(d)维，则(y)也是(d)维，将其各维写出，有(y = (y_1,cdots,y_d)')。接下来，对密度函数进行积分：
[egin{aligned}
&int_{-infty}^{infty} cdots int_{-infty}^{infty} f(x) dx_1 cdots dx_d\
=& int_{-infty}^{infty}cdotsint_{-infty}^{infty} kexp(-dfrac{1}{2}y'y) |J| dy_1 cdots dy_d\
=& dfrac{k}{|det(C)|} int_{-infty}^{infty}cdotsint_{-infty}^{infty} prod_{i=1}^{d}exp(-dfrac{1}{2} y_i^2) dy_1 cdots dy_d\
=& dfrac{k}{|det(C)|} prod_{i=1}^{d} int_{-infty}^{infty} exp(-dfrac{1}{2} y_i^2) dy_i \
=& dfrac{k}{|det(C)|} prod_{i=1}^{d} sqrt{2pi} \
=& dfrac{k}{|det(C)|} (2pi)^{d/2} \
=& k [det(A)]^{-1/2} (2pi)^{d/2}
end{aligned}
]
上述积分必定等于(1)，因此，
[k=(2pi)^{-d/2} [det(A)]^{1/2}
]