1 几乎必然收敛的概念
几乎必然收敛（almost sure convergence），又叫以概率1收敛（convergence with probability 1），定义为：随机变量序列\(\{X_n\}\)满足
\[\mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} X_n\to X)=1
\]
则\(X_n\xrightarrow{\text{a. s. }}X\)。
它的等价条件有很多，比如：
\[\mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} |X_n-X|<\varepsilon)=1
\]
或
\[\forall \varepsilon>0, \mathbf{P}(\limsup_{n\to \infty} |X_n-X|>\varepsilon)=0
\]
上式又可用“不时发生”（infinitely often）的概念，写为
\[\forall \varepsilon>0, \mathbf{P}(|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. })=0
\]
上式如何理解？可从\(\cup_{n=m}^{\infty}\{|X_n-X|>\varepsilon\}\)入手，它表示给定\(m\)后，使\(|X_n-X|>\varepsilon\)（\(n\geq m\)）至少发生一次的\(\omega\)的集合。而如果不管给定的\(m\)有多大，在有些\(\omega\)上，\(|X_n-X|>\varepsilon\)（\(n\geq m\)）都会至少发生一次，这些\(\omega\)的集合就是“不时发生”的概念：
\[\begin{aligned}
& \left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\\
=& \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}\\
=& \limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}
\end{aligned}
\]
因此，几乎必然收敛可表示为
\[\begin{aligned}
0 =& \mathbf{P}\left(\left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\right)\\
=& \mathbf{P}(\cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\})\\
=& \mathbf{P}(\limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\})
\end{aligned}
\]
再介绍一个定理：设\(\{E_n\in\mathcal{F}\}\)为任意序列，则
- \(\mathbf{P}(\limsup_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbf{P}(\cup_{m=n}^{\infty} E_m)\)；
- \(\mathbf{P}(\liminf_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbf{P}(\cap_{m=n}^{\infty} E_m)\).
2 Borel-Cantelli引理
Borel-Cantelli引理是证明几乎必然收敛时用到最多的工具之一。引理分为两部分，一是收敛部分，讲收敛所需的充分条件，二是发散（divergence）部分，讲收敛所需的必要条件，即序列的独立性。
Borel-Cantelli引理：
- 对于任意一个事件序列\(\{E_n\in\mathcal{F}\}\)，若\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbf{P}(E_n)<\infty\)，则\(\mathbf{P}(E_n, \text{i. o. })=0\)；
- 对于独立事件的序列\(\{E_n\in\mathcal{F}\}\)，若\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbf{P}(E_n)=\infty\)，则\(\mathbf{P}(E_n, \text{i. o. })=1\).