二、第二课时
1)极限:
通俗语言:函数f在(x_0)处的极限是L
数学符号:(lim_{x ightarrow x_0} f(x) = L)
无穷如何比较大小呢?如x趋近0的时候,(sin(x))和(tan(x))同样都趋近0,哪个趋近0的速度更快呢?我们可以采用求商的极限来求解:(lim_{x ightarrow 0} sin(x)/tan(x) = lim_{x ightarrow } cos(x) = 1),所以是同样级别的无穷小
夹逼定理:如果三个函数满足:(f(x) <= g(x) <= h(x)),并且他们在(x_0)处均有极限,则:(lim_{x ightarrow x_0} f(x) <= lim_{x ightarrow x_0} g(x) <= lim_{x ightarrow x_0} h(x))
几个重要的极限:
(lim_{x ightarrow 0} sin(x)/x = 1)
(lim_{x ightarrow infty } x^a/e^x = 0),对于任意的正数(a)
(lim_{x ightarrow infty } ln(x)/x^a = 0),对于任意的正数(a)
(lim_{x ightarrow infty } (1 + 1/x)^x = e)
2)导数
如果一个函数(f(x))在(x_0)附近有定义,并且存在极限:(L = lim_{x ightarrow x_0} frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0}),那么(f(x))在(x_0)处可导且导数(f'(x_0) = L)
3)链式法则:即符合函数的求导法则
如:(y = x^x),求其导数。两边取对数:(lny = xlnx),然后两边同时求导:((1/y)y'=lnx + 1),(y' = (lnx + 1)x^x)
三、第三课时
1)单变量函数的黎曼积分:
(f(x))为开区间(a, b)上的一个连续函数,对于任意一个正整数n,我们定义:(x_i = a + i(b - a)/n),求和式:( S_n(f) = sum_{i=1}^{n}f(x_i)(x_{i+1} - x_i) )
如果极限(lim_{n->infty }S_n(f))存在,那么函数(f(x))在这个区间上的黎曼积分为:( int_{a}^{b}f(x)dx = lim_{n->infty }S_n(f) )
我们可以这样理解:把区间分成n份,求函数与x轴的面积和