beautiful number 数位DP codeforces 55D

题目链接：

http://codeforces.com/problemset/problem/55/D

数位DP

题目描述：

一个数能被它每位上的数字整除（0除外），那么它就是beautiful number。问区间[a,b]上有多少个beautiful number。如102就是一个beautiful number，因为它能整除1,2。14不是，因为14不能整除4.

解法：

数位DP，设dp[i][j][k]为累计到第i为，公倍数为j，模lcm(1,2,```,9)=2520的余数为k的数的个数。注意到两个事实，要求某个数能整除它的每一个非0位上的数字，那么等价于将这些数字求一个最小公倍数，如果这个数能整除它的最小公倍数，自然就是beautiful number。已知lcm（1,2，···，9） = 2520，一个数一定能写成k+2520*x这样的形式，其中0<k<2520。设组成这个数的非0数字的最小公倍数为j,就有（k+2520*x）%j = k%j.同时能知道2520的因子（不一定是素数因子）一共有48个，所以离散的存储这些数，同时用ra[i]，记录在离散数组中的编号。

贴代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int mod = 2520;
using namespace std;
typedef long long int LL;
template<typename T>T gcd(T a,T b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
template<typename T>T lcm(T a,T b)
{
    if(a*b == 0 ) return a?a:b;
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int  ra[mod+5];
int lm[50];
LL dp[22][50][mod+5];
int e[22];
int p[22];
void init()
{
    e[0] =1;
    for(int i=1; i<20; ++i)
        e[i] = e[i-1]*10%mod; //e[i]表示10^i%2520的余数
    int cnt=0;
    for(int i=1; i<=mod; ++i)
        if(mod%i == 0) lm[cnt] = i,ra[i] = cnt,++cnt;//记录2520的因子
    //ra记录这个因子在离散化存因子中的编号
}
void onceInit()
{
    init();
    dp[0][0][0] = 1;
    for(int i=1; i<20; ++i)
    {
        for(int t=0; t<10; ++t)
        {
            for(int j=0; j<48; ++j)
            {
                int d = lcm(lm[j],t);
                int jj = ra[d];
                for(int k=0; k<2520; ++k)
                {
                    int kk = (t*e[i-1]+k)%mod;
                    dp[i][jj][kk] += dp[i-1][j][k];
                }
            }
        }
    }
}
int splitInt(LL x)//将数拆成一位一位的存在ｐ数组中
{
    int i;
    for(i=1; x; ++i)
        p[i] = x%10,x /= 10;
    return i;
}
LL solve(LL x)//统计从0-x中有多少个beautiful number，x不包含在内
{
    LL ans =0;
    int len = splitInt(x);
    int cu1=1,cu2=0;//前面数的公倍数，余数
    for(int i=len-1; i> 0; --i)
    {
        for(int t=0; t<p[i]; ++t)
        {
            for(int j=0; j<48; ++j)
            {
                int d = lcm(lm[j],t);
                d = lcm(d,cu1);//这是真正的公倍数
                int tmp = (cu2+t)*e[i-1]%d;//k+tmp = l*d这样的k会是解
                for(int k=(d-tmp)%d; k < 2520; k +=d)
                    ans += dp[i-1][j][k];
            }
        }
        cu1=lcm(cu1,p[i]);//更新前面的余数和倍数
        cu2 = (cu2+p[i])*10%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
//    freopen("in.c","r",stdin);
    onceInit();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        LL a,b;
        scanf("%I64d%I64d",&a,&b);
        printf("%I64d
",solve(b+1) - solve(a));
    }
    return 0;
}