Gao the Grid ZOJ 3647 数三角形

首先从所有的点中选3个点用来画三角形，一共有ans = C（(n+1)*(m+1),3）种，然后减去三点共线的情况，三点水平和垂直共线很好考虑,ans -= (n+1)*C(m+1,3)

ans -= (m+1)*C(n+1,3).

然后针对斜线的情况，用枚举法。

先考虑如下的情况：

假设有一条过原点（0，0）和点（x0,y0）的线段,其中x0,y0均为正整数，那么这条线段上有多少个整数点呢。整数点就是坐标为(x,y)的点,其中x,y均为整数 。

答案上gcd(x0,y0)+1,下面证明：

这条线段的方程如下：y = k * x ,其中k = y0/x0. (x>=0 && x <= x0)

那么设y0分解为y0 = p1 * p2  ```` pk

x0的分解为x0 = q1*q2*q3````qs其中pi,qi均为素数

不妨设p1= q1,p2=q2,```pt =qt.剩下的pi和qj互素（i=t+1,```k,j=t+1,s），显然，p1*p1*```*pt就是gcd(x0,y0)(也就是x0 和 y0 的最大公约数)。

那么y  = k *x，当x取值为q(t+1)*q(t+2)*```*q(s),也就是x0/gcd(x0,y0)时，y为小于y0的整数，令d = x0/gcd(x0,y0)，x取值为0*d,1*d,2*d ,```` gcd(x0,y0)*d，y都会是>=0，<=y0的整数，而这样选择的x也是>=0，<=x0的整数，所有在这条线段上一共有gcd(x0,y0)个整数点。由此得证。

这样的话，选定两个整数点（两整数点不在同一水平线或垂直线上，只考虑斜线的情况），再在这两个点组成的线段上另选一个点和这个点组成伪三角形，这样的伪三角形有多少个。

答案是,自己好好想想，呵呵，然后先列举斜率为正的斜线，然后发现斜率为负的斜率与之对称，所以斜率为正的斜线的伪三角形的个数*2即可

贴代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
LL pc3(LL x)
{
    LL y;
    y = x*(x-1)*(x-2)/6;
    return y;
}
int main()
{
    int  n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        LL ans = pc3((n+1)*(m+1));
        ans -= (m+1)*pc3(n+1);
        ans -= (n+1)*pc3(m+1);
        for(int i=2; i<=n; ++i)
        {
            for(int j=2; j<=m; ++j)
            {
                ans -= (long long int )(gcd(i,j)-1)*(n+1-i)*(m+1-j)*2;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}