Fibonacci数大家一定很熟悉了:
Fibonacci质数的定义:
若某Fibonacci数与任何比它小的Fibonacci数互质,那么它就是Fibonacci质数。
但是哪些的Fibonacci数才是Fibonacci质数呢?这里先给出结论:
1. F(3)和F(4)是Fibonacci质数;从F(5)开始,某项为Fibonacci质数当且仅当它的项数为质数
2. 第k小的Fibonacci质数是以质数数列中的第k个数为项数的Fibonacci数( 除F(3)和F(4)之外 )
证明如下:
证明任何与“互质”有关的问题,可以从余数入手,因此考察所有数除以M(M任意)的余数所组成的序列 :
所有数除以相应的某些M(M≠1)都可以余数为0,因此我们的M从这些数种选取。
此时 ,假设
中的第一个零元素为
,同时假设其前一个元素
。
根据同余可加性:
可得:
由上述结论可得,因为 序列和
序列一样每个数只与其前两个数相关,因此从
开始的子序列相当于从
开始的序列乘以a。由此可见,当且仅当p为k的倍数时,
。此时
和
都能被M整除,因此
和
有公因数M(M≠1),
和
不互质,
不为Fibonacci质数(k<p)。因此对于任一合数q,都有k能够整除q(k<q),此时
和
有公因数,
就不为Fibonacci质数。
因此得到结论(上述的逆反命题):若 为Fibonacci质数,则q为质数。但存在个别反例:
2. ,虽然4是2的倍数,但
,所以
和
互质,因此
仍为Fibonacci质数
最终结论:Fibonacci数列中的第3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … 项为Fibonacci质数