拓展欧几里得 入门+推导

拓展欧几里得入门

内容

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组整数解x，y，使它们满足贝祖等式（具体不是很清楚是啥意思，反正就那样）： (ax+by = gcd(a, b) =d)（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

详细讲解+推导

• 对于普通的公式(ax+by = c)有整数解的条件是(c=k*gcd(a, b))，k为任意常数。

• 对于公式(ax+by = gcd(a, b) =d)，求解其中一个x，y的方法及其证明

  1. 显然当 (b=0,gcd(a,b)=a)时，此时 (x=1, y=0)；

  2. (a>b>0) 时，设

     [ax_1+ by_1= gcd(a,b) ]

  [bx_2+ (a mod b)*y_2= gcd(b, a mod b) ]

  根据朴素的欧几里德原理有

  [gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) ]

  则:

  [ax_1+ by_1= bx_2+ (a mod b)y_2 ]

  即:

  [ax_1+ by_1= bx_2+ (a - [a / b] * b)y_2=ay_2+ bx_2- [a / b] * by_2 ]

  说明： (a-[a/b]b)即为mod运算。([a/b])代表取小于(a/b)的最大整数，下面同样适用。

  也就是

  [ax_1+ by_1 == ay_2+ b(x_2- [a / b] *y_2) ]

  根据恒等定理，对应项的系数相等得：

  [x_1=y_2 ]
  [y_1=x_2- [a / b] *y_2 ]

  这样我们就得到了求解 (x_1,y_1) 的方法：(，，，x_1，y_1) 的值基于(，，， x_2，y_2)。使用递归的话，上一层的值，取决于下一层。

  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

  递归边界：

  [gcd（a, 0）=1*a-0*0=a ]

• 对于公式(ax+by = c)，求解x，和y的方法

  1. 如果(c \% gcd( a , b) != 0)，即c不是gcd的整数倍，则无解。
  2. 如果(c \% gcd(a,b) == 0) ，则(c / gcd(a,b) = t)，那么求出方程 (a * x + b * y = gcd(a,b))的所有解x,y，将x,y乘上t，对应的x’,y’即是方程(a * x + b * y = t * gcd(a,b))的一个解

• 如何求(ax+by = gcd(a, b) =d)最小整数解，对于(ax+by = c)，c为常数，也适用。

  1. 我们可以用扩展欧几里得算法得出
  2. (ax+by=gcd(a,b))的一组解(（）（x_1, y_1）)，那么其他解呢？任取另一组解(（）（x_2, y_2）)则

[ax_1+by_1=ax_2+by_2 ]

​ （因为它们都等于(gcd(a,b)) ），变形得

[a(x_1-x_2)=b(y_2-y_1) ]

​ 假设(gcd(a, b)=g)，方程左右两边同时除以g（如果g=0，说明a或b等于0，可以特殊判断），得

[a'(x_1-x_2)=b'(y_2-y_1) ]

​ 其中(，，，a'=a/g，b'=b/g)。

​ 注意，此时a'和b'互素（想想分数的化简）

[x_1-x_2=frac{b'}{a'}*(y_2-y_1) ]

​ 则因此(x_1-x_2)一定是b'的整数倍（因为a'中不包含b'，所以(x_1-x_2)一定包含b'）。

​ 设它为(x_1-x_2=k*b')，计算得(y_2-y_1=k*a')。注意，上述的推导过程并没有用到(ax+by)的右边是什 么，因此得出以下结论：

​ 设a,b,c为任意整数，若方程(ax+by=c)的一组解是((x_0,y_0))，则它的任意整数解都可以写

​ ((x_0+k*b',y_0-k*a'))，其中(a'=[a/gcd(a,b)])，(b'=[b/gcd(a,b)])，k取任意整数。

​ 这样我们就可以求出来最小的整数解了。（先用扩展欧几里得算法求出一组解，然后进行变换）

例题

请参考我的另一篇文章

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