• poj3517:约瑟夫问题的数学解法


    约瑟夫问题:

    用数学方法解的时候需要注意应当从0开始编号,因为取余会等到0解。

    实质是一个递推,n个人中最终存活下来的序号与n-1个人中存活的人的序号有一个递推关系式。

    分析:

    假设除去第k个人。

    0, 1, 2, 3, ..., k-2, k-1, k, ..., n-1  //original sequence (1)

    0, 1, 2, 3, ..., k-2,      , k, ..., n-1  //get rid of kth person (2)

    k, k+1, ..., n-1,    0,    1,        ..., k-2  //rearrange the sequence (3)

    0, 1,     ..., n-k-1, n-k, n-k+1, ..., n-2  //the n-1 person (4)

    我们假设f(n)的值为n个人中最后存活的人的序号,则

    注意到(2)式(3)式(4)式其实是同一个序列。

    注意(1)式和(4)式,是同一个问题,不同的仅仅是人数。

    假设我们已知f(n-1),即(4)式中最后剩下的人的序号,则(3)式所对应的序号,就是f(n),即(1)式n个人中最后存活的序号。

    而从(3)(4)式中我们不难发现有这样一个递推式:

    f(n) = (f(n-1) + k) % n

    显然,f(1) = 0。

    于是递推得f(n)

    代码如下:

    View Code
     1 #include <stdio.h>
    2
    3 int main()
    4 {
    5 int n, k, m, i, x;
    6 while (scanf("%d%d%d", &n, &k, &m) != EOF) {
    7 if (n==0 && k==0 && m==0) break;
    8 x = 0;
    9 for (i=2; i!=n; ++i)
    10 x = (x + k) % i;
    11 x = (x + m) % i + 1;
    12 printf("%d\n", x);
    13 }
    14 return 0;
    15 }
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