假设说，抽烟和不抽烟的人群之间有一定的概率互相转化，且相互转化的概率如下图所示
即：
抽烟的人第二天仍然抽烟的概率是0.8
不抽烟的人第二天开始抽烟的概率是0.1
不抽烟的人第二天仍然不抽烟的概率是0.9
抽烟的人第二天开始不抽烟的概率是0.2
我们用程序去模拟抽烟与不抽烟人群相互转化的过程：
首先任意假定一个初始状态：抽烟与不抽烟的人群在实验开始前分别有500人
依据上图，定义转移概率矩阵为：
使用下述代码进行模拟
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl import math transfer_matrix = np.array([[0.8, 0.1],[0.2,0.9]],dtype='float32') somking_matrix = np.array([[500],[500]],dtype='float32') number_somking = [500] number_nosomking = [500] for i in range(30): somking_matrix = np.dot(transfer_matrix,somking_matrix) #print(somking_matrix) number_somking.append(somking_matrix[0][0]) number_nosomking.append(somking_matrix[1][0]) print(number_somking) print(number_nosomking) x = np.arange(31) plt.plot(x,number_somking,label='somking') plt.plot(x,number_nosomking,label='nosomking') plt.legend() plt.show()
运行上述代码得到的结果如下：
抽烟人数在30天内的变化为：[500, 450.0, 415.0, 390.5, 373.35, 361.34503, 352.9415, 347.05905, 342.94135, 340.05896, 338.04126, 336.62888, 335.6402, 334.94815, 334.4637, 334.1246, 333.8872, 333.72107, 333.60477, 333.52335, 333.46637, 333.42645, 333.39853, 333.379, 333.36533, 333.35574, 333.34903, 333.34433, 333.34106, 333.33875, 333.33713]
不抽烟人数在30天内的变化为：[500, 550.0, 585.0, 609.5, 626.64996, 638.6549, 647.0584, 652.94086, 657.05853, 659.9409, 661.9586, 663.37103, 664.35974, 665.0518, 665.53625, 665.87537, 666.1128, 666.279, 666.39526, 666.4767, 666.5336, 666.57355, 666.6015, 666.62103, 666.6347, 666.6443, 666.651, 666.6557, 666.659, 666.6613, 666.6629]
绘制图像为：
现在，我们更换初始状态：抽烟与不抽烟的人群在实验开始前分别有1000人和0人
再次运行代码，得到的结果如下：
抽烟人数在30天内的变化为：[1000, 800.0, 660.0, 562.0, 493.4, 445.38, 411.76602, 388.2362, 371.76535, 360.23575, 352.165, 346.51553, 342.56088, 339.7926, 337.85483, 336.49838, 335.54886, 334.88422, 334.41895, 334.09326, 333.8653, 333.70572, 333.594, 333.5158, 333.46106, 333.42276, 333.39594, 333.37717, 333.36404, 333.35486, 333.34842]
不抽烟人数在30天内的变化为：[0, 200.0, 340.0, 438.0, 506.59998, 554.62, 588.234, 611.7638, 628.2346, 639.7642, 647.83496, 653.48444, 657.4391, 660.2074, 662.14514, 663.5016, 664.4511, 665.1157, 665.581, 665.9067, 666.13464, 666.29425, 666.40594, 666.48413, 666.5389, 666.57715, 666.604, 666.6228, 666.6359, 666.6451, 666.6515]
重新绘制图像如下：
通过两次实验我们可以看出：
1.随着时间的推进，抽烟和不抽烟的人数总会保持在某个值（即马尔可夫链达到了平稳分布）
2.改变初始条件，而不改变转移概率矩阵，并不改变最终的值
并不是所有的马尔可夫链都具有平稳分布，定理：不可约且非周期的有限状态马尔可夫链，有唯一平稳分布存在。
1.不可约性：一个不可约的马尔可夫链，从任意状态出发，当经过充分长时间后，可以到达任意状态。
2.非周期性：所有状态的出现不是单一过程的反复循环
