根据数论的尿性，一般的定理解决不了的问题怎么办？那就拓展一下呗。
我们先看中国剩余定理，它解决的是一堆同余方程：nΞa1(mod b1),nΞa2(mod b2)...nΞak(mod bk)，其中b1,b2...bk两两互质。但不互质的时候怎么办呢？不互质就解决不了了，因为bi和其他b1*b1*...*bk/bi中有公因数。所以中国剩余定理就解不了这种问题。
然后来看看扩展的(虽然两者没什么关系)。先从简单入手，假设现在只有两个方程：nΞa1(mod b1)，nΞa2(mod b2)，它们可以写成：n=a1+k1*b1，n=a2+k2*b2。也就是：a1+k1*b1=a2+k2*b2。然后就得到一个不定方程：bi*k1-b2*k2=a2-a1。于是我们可以用扩欧来求出k1，而k1是刚才关于n的方程里的一个元素，我们当然希望能够通过一个式子得到所有的k1。所以我们还要求出k1的通项。设j1,j2为不定方程b1*j1-b2*j2=gcd(b1,b2)的一组特解，两边为了变成k1,k2的方程的形式，设t=(a2-a1)/gcd(b1,b2)，把两边同时乘上t，得到bi*j1*t-b2*j2*t=a2-a1，就得到了k1=j1*t，k2=j2*t。于是我们进一步得到了n的通项：n=a1+b1*j1*t，n=a2+b2*j2*t。于是，每两个解的差值Δ|b1*t，Δ|b2*t。通过观察，两个式子的右边有不同的项：b1,b2，要想能够整除，则Δ必须整除b1,b2；把t=(a2-a1)/gcd(b1,b2)带进去，因为b1*b2/gcd(b1,b2)是b1,b2的最小公倍数，所以能被b1,b2整除，所以能被Δ整除。也就是：Δ|lcm(b1,b2)。然后我们就求出了n的通项：n=b1*k1+x1+k*lcm(b1,b2)，就可以把另一个等式扔掉了。再转化为同余方程：nΞbi*k1+x1(mod lcm(b1,b2))，每次求出k1即可。也就是说，我们通过上面的转化，把两个同余方程合并成了一个。
再推广一下，如果有m个同余方程。。。那一个个合并不就好了吗？时间复杂度就是O(mlog)，由于每次的不定方程不同，所以log函数的自变量也就不同，这里不好说。凑合着看吧。
下面是喜闻乐见的模板题(要么打龟速乘，要么开int128):
P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
以及代码(丑得一批)：
#include <cstdio> #pragma GCC diagnostic error "-std=c++14" #pragma GCC target("avx") #pragma GCC optimize(3) #pragma GCC optimize("Ofast") #define maxn 100001 using namespace std; typedef __int128 ll; inline ll read(){ register ll x(0), f=1; register char c(getchar()); while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); } while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48), c=getchar(); return x*f; } ll a[maxn], b[maxn]; void ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y, ll &d){ if(!b) x=1,y=0,d=a; else{ ll x1,y1; ex_gcd(b,a%b,x1,y1,d); x=y1,y=x1-a/b*y1; } } int main(){ ll n=read(); for(register ll i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),a[i]=read(); ll lcm=b[1],prex=a[1]; for(register ll i=2;i<=n;i++){ ll lcm_a=((a[i]-prex)%b[i]+b[i])%b[i],x,y,k=lcm,gcd; ex_gcd(lcm,b[i],x,y,gcd); x=(x*lcm_a/gcd%(b[i]/gcd)+(b[i]/gcd))%(b[i]/gcd); lcm=lcm*b[i]/gcd,prex=(prex+k*x)%lcm; } printf("%lld\n",(long long)((prex%lcm+lcm)%lcm)); return 0; }
学完这个终于可以去搞扩展lucas了(噗)