BZOJ3994 约数个数和

3994: [SDOI2015]约数个数和

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Description

 设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求  

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。 

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。 

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

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结论题丧心病狂系列

其实看到这道题，我们发现最大的难点就是如何求( d(nm) )

暂且不说为什么，我们欣赏一下这个式子[ d(nm)=sum_{i mid n}sum_{j mid m}lbrack gcd(i,j)=1 brack ]

其实我刚看到的时候是拒绝的，什么鬼啊？？？！！！

然后我们抛开这个式子，来分析一下某个质数(p)对答案的贡献

若( n=n’ imes p^{k_{1}} )， ( m=m’ imes p^{k_{2}} )

则贡献为( k_{1}+k_{2}+1 )

然后我们观察开始给出的式子，发现一个素数对答案有贡献的还是( (p^{k_{1}},1),(p^{k_{1}-1},1) cdots (1,1) cdots (1,p^{k_{2}-1}),(1,p^{k_{2}}) )这( k_{1}+k_{2}+1 )个

所以我们证明了这个结论的成立。

接下来是莫比乌斯反演的正常推导

最终形式为[ sum_{g=1}^{N}mu(g)sum_{i=1}^{lfloor frac{N}{g} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{M}{g} floor}lfloor frac{N}{ig} floorlfloor frac{M}{jg} floor ]

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <class _T> inline void read(_T &_x) {
    int _t; bool flag = false;
    while ((_t = getchar()) != '-' && (_t < '0' || _t > '9')) ;
    if (_t == '-') _t = getchar(), flag = true; _x = _t - '0';
    while ((_t = getchar()) >= '0' && _t <= '9') _x = _x * 10 + _t - '0';
    if (flag) _x = -_x;
}
typedef long long LL;
const int maxn = 50010;
int f[maxn], mu[maxn], prime[maxn], pcnt;
bool vis[maxn];
inline int calc_f(int n) {
    int ret = 0;
    for (int i = 1, j, t; i <= n; i = j + 1) {
        t = n / i, j = n / t;
        ret += t * (j - i + 1);
    }
    return ret;
}
inline void init() {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        if (!vis[i]) {
            prime[++pcnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 1; j <= pcnt && prime[j] * i < maxn; ++j) {
            vis[prime[j] * i] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[prime[j] * i] = 0;
                break;
            }
            mu[prime[j] * i] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i < maxn; ++i) {
        mu[i] += mu[i - 1];
        f[i] = calc_f(i);
    }
}
inline LL calc(int n, int m) {
    if (n > m) swap(n, m);
    LL ret = 0;
    for (int i = 1, j, t1, t2; i <= n; i = j + 1) {
        t1 = n / i, t2 = m / i, j = min(n / t1, m / t2);
        ret += (mu[j] - mu[i - 1]) * ((LL)f[t1] * f[t2]);
    }
    return ret;
}
int n, m;
int main() {
    //freopen(".in", "r", stdin);
    //freopen(".out", "w", stdout);
    init();
    int T; read(T);
    while (T--) {
        read(n), read(m);
        printf("%lld
", calc(n, m));
    }
    return 0;
}