算法和数据操作-递归和循环

如果我们需要重复多次计算相同问题，则通常可以选择用，递归或者循环两种不同方法。递归实在一个函数内部调用这个函数自身。而循环是通过设置计算的初始值以及终止条件，在一个范围内重复运算。比如求1+……+n，我们可以同递归或者循环两种方式求出结果，对应代码如下

public class addFrom1ToN_Recursive {
    static int addFrom1ToN_Recursive(int n){//递归
        return n<=0?0:n+addFrom1ToN_Recursive(n-1);
    }
    static int addFrom1ToN_Iterative(int n){//循环
        int result=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            result+=i;
        }
        return result;
    }
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(addFrom1ToN_Recursive(100));
        System.out.println(addFrom1ToN_Iterative(100));
    }
}

通常递归代码更加简洁。但由于是函数调用自身，而函数调用是有时间和空间的消耗的：每一次函数调用，都需要在内存栈中分配空间以保存参数、返回地址和临时变量，而且往栈里压入数据和弹出数据都需要时间。这就不难理解上述的例子中递归实现的效率不如循环。

另外，递归中有很多计算都是重复的，对性能有负面影响。

通常应用动态规划解决问题我们都是用递归的思路分析问题，但由于递归分解的子问题中存在大量的重复，因此我们总用自下而上的循环来实现代码。

递归还可能引起更严重的问题：调用栈溢出。需要为每一次函数调用在内存栈中分配空间，而每个进程的栈的容量有限。当递归调用的层级太多，就会超出栈的容量。从而导致调用栈溢出。

 

面试题10.斐波那契数列

题目：求斐波那契数列的第n项

效率很低的递归

public class fibonacci {
    static long Fib(long n){
        if(n<=0){
            return 0;
        }
        else if(n==1){
            return 1;
        }
        else{
            return Fib(n-1)+Fib(n-2);
        }
    }
}

计算量会随着n的增大而急剧增大，因为需要重复计算的实在太多了，要想办法避免重复计算

简洁方法是从下往上计算，根据f(0)和f(1)计算f(2),再根据f(1)和f(2)计算f(3)……,时间复杂度O(n)

static long Fib2(int n){
    int[] result = {0,1};
    if(n<2){
        return result[n];
    }
    long fibOne=0;
    long fibTwo=1;
    long fibN=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        fibN = fibOne+fibTwo;
        fibOne = fibTwo;
        fibTwo = fibN;
    }
    return fibN;
}

时间复杂度O(logn)但不够实用的解法

需要用到快速幂公式

类似的问题

题目二：青蛙跳台阶

一次可以跳上1级或者2级，求该青蛙跳上n级台阶有多少种跳法

1级台阶：1种

2级台阶：2种

n级台阶：（跳一下+在n-1级台阶时）+ （跳两下+在n-2级台阶时）

f(n)=f(n-1)+f(n-2)，同斐波那契数列

变式：如果把条件改成，一只青蛙一次跳上1级……n级，此时青蛙跳上一个n级台阶总共有多少解法:2^(n-1)种

相关题目：

用2*1的小矩形横着或竖着去覆盖更大的矩形。请问用8个2*1的小矩形无重叠的覆盖一个2*8的大矩形，总共有多少种方法

思路：先把2*8的覆盖方法记为f(8)，用第一个2*1的小举行去覆盖大矩形的最左边时有两种选择：竖着或横着放。当竖着放的时候，右边还剩2*7的区域，这种情况下的覆盖方法几位f(7)，接下来考虑横着放，当2*1的小矩形横着放在左上角，左下角必须也横着放一个2*1的小矩形，而右边还剩下2*6的区域，这种情形下的覆盖方法几位f(6)，因此f(8)=f(7)+f(6),仍然是斐波那契数列

public class RectangularCover {
    public static int rectangularCover(int n){
        if(n<=0){
            return 0;
        }
        if(n<=2&&n>0){
            return n;
        }
        else{
            return rectangularCover(n-1)+rectangularCover(n-2);
        }
    }

    public static int rectangularCover2(int n){
        if(n<3){
            return n;
        }
        int fib1=1;
        int fib2=2;
        int fibN=0;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            fibN=fib1+fib2;
            fib1=fib2;
            fib2=fibN;
        }
        return fibN;
    }
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(rectangularCover(8));
        System.out.println(rectangularCover2(8));
    }
}