原本是想把CRT、扩展CRT、欧几里得、扩展欧几里得都写在这，但由于博主太菜，刚刚才会EXCRT qwq
在退组边缘徘徊的我果然还是菜了一点啊！！！
布吉岛为什么但就是想奶一口gql省队稳了2333
不闲扯了，进入正题！
欧几里得（gcd）&&扩展欧几里得（exgcd）：
先来一个众人皆知的欧几里得算法：(gcd ( a,b )=gcd ( b,a mod b ))
证明过程自己完成，这里不多加叙述
再来普及一个简单的裴蜀定理：若a,b是整数,且 (gcd(a,b)=d)，那么一定存在整数 (x,y)，使得(ax+by=d) 成立。
裴蜀定理证明请看这里（主要是因为我之前打了一段后发现没证完然后就懒得打了qwq）
那么 (fHuge ext{扩展欧几里得}) 来了！！！
扩展欧几里得算法：可以用来求解 (ax+by=gcd(a,b)) ，也就是求同余方程 (axequiv gcd(a,b)(mod b)) 的解
算法过程及解如下：
我们要求解 (ax+by=gcd(a,b)) 其实主要是想算出 (x) 的值，(y) 是一个辅助解
然后我们构造这么一个式子：(bx_1+(a mod b)y_1=gcd(b,(a mod b))) ，根据欧几里得算法，我们可得出 (bx_1+(a mod b)y_1=ax+by) ，不妨把 (a mod b) 变成 (a-b*(a/b)) ，然后带入原式：
(bx_1+(a-b*(a/b))y_1=ax+by)
(bx_1+ay_1-b*(a/b)y_1=ax+by)
(ay_1+b(x_1-(a/b)y1)=ax+by)
那么我们求出了一组解：(x=y_1,y=x_1-(a/b)y_2)
然后将我们求解的两个式子对比一下：
(ax+by=gcd(a,b))
(bx_1+(a mod b)y_1=gcd(b,(a mod b)))
是不是发现了什么？是不是有点像欧几里得算法？
然后我们按这种方式递推下去，直到 (b=0) ，那么：
(ax+by=gcd(a,b))
(ax=gcd(a,0))
显然 (gcd(a,0)=a,x=1) ，此时已经和 (y) 的值没有关系了，即此时 (y) 的值是任意数，但是这里建议把 (y) 赋成 (0) ，可以避免在返回中爆 (long long) 。
之后我们已经求出来了关于同余方程的一个解 (x) ，虽然 (x) 不一定是最小的，但显然 (x) 加上或减去 (b) 是没有任何影响的，所以用一个 (x = (x \% b + b) \% b) 就可以了求出满足同余方程的最小正整数解了
上代码：
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{//x，y都是要返回的值
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,(a%b),x,y);//递归
int xx=y;//记录一下解
y=x-(a/b)*xx,x=xx;
return;
}
至此，扩展欧几里得讲解完毕qwq
中国剩余定理（CRT）：
中国剩余定理其实真的不难qwq
一般情况下我们是要求解如下式子：
(egin{cases} xequiv a_1(mod b_1)quad \ xequiv a_2(mod b_2)quad \ ...quad \ xequiv a_n(mod b_n)quad \ end{cases})
其中所有的 (b_1,b_2...b_n) 都互质，这里的 (a_i) 都小于 (b_i) 。
首先我们构造一个数 (B=b_1*b_2*...*b_n) ，那么显然当我们求出 (x) 之后加上或减去 (B) 都是成立的。
接下来考虑对于每一个同余方程的处理：
对于同余式 (xequiv a_k(mod b_k)) ，我们可以构造一个 (B_k=B/b_k) ，显然 (gcd(B_k,b_k)=1) ，根据裴蜀定理可得：存在整数 (i,j) 使得 (iB_k+jb_k=1) ，即 (iB_kequiv 1(mod b_k)) 。因为 (iB_k mod b_k=1) ，那么有 (a_i*iB_k mod b_k=a_i) ，(i) 可以通过扩展欧几里得求得，所以该同余方程的一个解是 (x=a_i*i*B_k) 。
再回到整个方程组，我们继续构造一个数 (x=a_1i_1B_1+a_2i_2B_2+...+a_ni_nB_n) ，那么这个数就是同余方程组的一个解。因为对于第 (k) 个同余方程，(B_{1...n}) 中除 (B_k) 之外所有数都是 (b_k) 的倍数，所以同余方程是成立的。
放一下CRT的代码：
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,(a%b),x,y);
int xx=y;
y=x-(a/b)*xx,x=xx;
return;
}//扩展欧几里得求解同余方程
lt china()
{
for(int i=1;i<=n;i++) N*=B[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a=N/B[i],b=B[i],x=0,y=0;
exgcd(a,b,x,y);//此处的x还要变成最小正整数解
ans+=a*((x%b+b)%b)*A[i];
}
return (ans%N+N)%N;
}
扩展中国剩余定理（EXCRT）
好了，同样是形如下面的式子：
(egin{cases} xequiv a_1(mod b_1)quad \ xequiv a_2(mod b_2)quad \ ...quad \ xequiv a_n(mod b_n)quad \ end{cases})
只不过这次不保证所有的 (b_1,b_2,...,b_n) 互质
因为不互质，所以我们无法像CRT一样使用扩欧。
考虑你已经求出来了前 (k-1) 个同余方程的解，得到的解为 (ans) ，设 (lcm) 为前 (k-1) 个方程中所有的 (b_i) 的最小公倍数，则前 (k-1) 个方程的解为 (x=ans+i*lcm) ，而我们只需要确定一个 (i) 使得 (ans+i*lcmequiv a_k(mod b_k)) ，然后更新一下 (lcm) 就好了。
又是一波转化：
(ans+i*lcmequiv a_k(mod b_k))
(i*lcmequiv a_k-ans(mod b_k))
注意：此处的 (lcm) 和 (b_k) 不一定互质，需要稍加处理，设 (gcd=gcd(lcm,b_k),c=(a_k-ans) mod b_k) ，由上式可得：
(i*lcm+h*b_k=c)
由裴蜀定理可得此方程有解的必要条件是 (gcd|c) ，于是继续变形：
(i/gcd*lcm+h*b_k/gcd=c/gcd)
(i/gcd*lcmequiv c/gcd(mod b_k/gcd))
此时 (gcd(lcm,b_k/gcd)=1) ，对于上面这个方程，我们依然可以先求出一个 (j) 满足 (j*lcmequiv 1(mod b_k/gcd)) ，然后再乘以 (c/gcd) 倍就好了。
具体代码中有解释：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{//扩展欧几里得，一并求出gcd
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int res=exgcd(b,(a%b),x,y);
int xx=x;
x=y,y=xx-(a/b)*y;
return res;
}
int mul(int s,int p,int mod)
{//这是一个快速乘，防止s*p爆long long
int res=0;
while(p)
{
if(p%2) res=(res+s)%mod;
s=(s+s)%mod;
p/=2;
}
return res%mod;
}
int EXCRT()
{
m=b[1],ans=a[1];//第一个方程要特殊处理，直接赋值就好了
for(int i=2;i<=n;i++)
{
int x,y,c=(a[i]-ans%b[i]+b[i])%b[i];
//c就是前面的ak-ans
int gcd=exgcd(m,b[i],x,y);
x=mul(x,c/gcd,b[i]/gcd);
//这一段我也弄了好久，最后终于搞懂了
//大致把x为什么要乘c/gcd，和%(b/gcd)的原因写在上面了
//不懂欢迎提问
ans+=x*m;//更新ans
m*=(b[i]/gcd);//更新lcm
ans=(ans%m+m)%m;
}
return (ans%m+m)%m);
}
终于更完了qwq心累