素数相关

1. 判断素数

利用素数集中在 6 附近的特点，进行快速判断。

/*
 * 判断素数
 * 除了 2 和 3，其他的素数都在 6 附近，可以据此加快判断的速度
 * */
private boolean isPrime(int n) {
    if (n == 1) {
        return false;
    }
    if (n == 2 || n == 3) {
        return true;
    }
    if (n % 6 != 1 && n % 6 != 5) {
        return false;
    }
    int n_sqrt = (int) Math.sqrt(n);
    for (int i = 5; i <= n_sqrt; i += 6) {
        if (n % (i) == 0 || n % (i + 2) == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

2. 埃氏筛

使用 Bitmap 实现，节省空间

缺点：一个数会被筛多次

复杂度：$O(nloglogn)$

/*
 * 用 Bitmap 实现埃氏筛。
 * */
BitSet eratosthenes_bitmap(int n) {
    BitSet bs = new BitSet(n + 1);
    bs.set(0,n + 1,true);
    bs.set(0,false);
    bs.set(1,false);

    int n_sqrt = (int) Math.sqrt(n);
    for (int i = 2; i <= n_sqrt; i++) {
        if (bs.get(i)) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                bs.set(j,false);
            }
        }
    }

    return bs;
}

 3. 线性筛

特点：一个合数只被它的最小质因子筛一次，速度更快

如何实现：

保存过程中得到的所有素数以及素数的个数

这些保存的素数用于筛掉那些合数，在下面的代码中，每个合数不是被 $i$ 筛掉的，而是被位于 $primes$ 数组中的、合数对应的最小质因子筛掉的，$i$ 只是起到一个倍数的作用

$bs.set(i * primes.get(j), false);$

而为了保证合数可以被最小质因子筛掉，$i%p$ 的判断是必要的

复杂度：$O(n)$

/*
 * 用 Bitmap 实现线性筛
 * */
BitSet linear_bitmap(int n) {
    BitSet bs = new BitSet(n + 1);
    bs.set(0, n + 1, true);
    bs.set(0, false);
    bs.set(1, false);

    int numOfPrimes = 0;
    List<Integer> primes = new ArrayList<>();
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (bs.get(i)) {
            primes.add(i);
            numOfPrimes++;
        }
        for (int j = 0; j < numOfPrimes && i * primes.get(j) <= n; j++) {
            bs.set(i * primes.get(j), false);
            if (i % primes.get(j) == 0) {
                break;
            }
        }
    }

    return bs;
}

 参考：https://blog.csdn.net/qq_39763472/article/details/82428602