数学：A^B的约数（因子）之和对MOD取模

POJ1845

首先把A写成唯一分解定理的形式

分解时让A对所有质数从小到大取模就好了

然后就有：A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn

然后有： A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

  S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

那么A^B就可以是

 sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

p^n直接快速幂就可以了

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int mod=9901;
const int maxn=10005;
int A,B;
int fatcnt;
int prime[maxn];
long long factor[10][2];
void get_prime()
{
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!prime[i]) prime[++prime[0]]=i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]<=maxn/i;j++)
        {
            prime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int get_factors(long long x)
{
    fatcnt=0;
    long long tmp=x;
    for(int i=1;prime[i]<=tmp/prime[i];i++)
    {
        factor[fatcnt][1]=0;
        if(tmp%prime[i]==0)
        {
            factor[fatcnt][0]=prime[i];
            while(tmp%prime[i]==0)
            {
                factor[fatcnt][1]++;
                tmp/=prime[i];
            }
            fatcnt++;
        }
    }
    if(tmp!=1)
    {
        factor[fatcnt][0]=tmp;
        factor[fatcnt++][1]=1;
    }
    return fatcnt;
}
long long pow_mod(long long a,long long n)
{
    long long res=1;
    long long tmp=a%mod;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            res*=tmp;
            res%=mod;
        }
        n>>=1;
        tmp*=tmp;
        tmp%=mod;
    }
    return res;
}
long long sum(long long p,long long n)
{
    //1+p+p^2+````+p^n
    if(p==0) return 0;
    if(n==0) return 1;
    if(n&1)
        return ((1+pow_mod(p,n/2+1))%mod*sum(p,n/2)%mod)%mod;
    else
        return ((1+pow_mod(p,n/2+1))%mod*sum(p,n/2-1)+pow_mod(p,n/2)%mod)%mod;
}
int main()
{
    get_prime();
    while(scanf("%d%d",&A,&B)==2)
    {
        get_factors(A);
        long long ans=1;
        for(int i=0;i<fatcnt;i++)
        {
            ans*=(sum(factor[i][0],B*factor[i][1])%mod);
            ans%=mod;
        }
        printf("%I64d
",ans);
    }
    return 0;
}