数学：拓展欧拉定理

回顾一下上节的欧拉定理：

其化简的形式为：

a^φ(m)≡1(mod m)

就有：

a^x≡a^(x%φ(m))≡a^(x%φ(m)+φ(m))(mod m)

看一道题：

Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000)

这个B是非常大的一个指数，那么幂就更大了，需要降幂

若gcd(a,c)=1，那么使用欧拉定理即可：a^b≡a^(b%φ(m))(mod m)

若gcd(a,m)>1，且b>φ(m)，则有“求幂大法”

a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)

这就是刚才的那个式子，（当b<=φ(m)时直接用快速幂即可）

//A^B %C=A^( B%phi(C)+phi(C) ) %C
#include<cstdio>
using namespace std;
int c;
long long a,nb;
char tb[1000005];
int phi(int x)
{
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            ans=(ans/i)*(i-1);
            while(x%i==0) x=x/i;
        }
    }
    if(x!=1) ans=(ans/x)*(x-1);
    return ans;
}
long long qpow(long long m,long long n,long long k)
{
    long long ans=1;
    while(n!=0)
    {
        if(n&1) ans=(ans*m)%k;
        n=(n>>1);
        m=(m*m)%k;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(scanf("%I64d%s%d",&a,tb,&c)!=EOF)
    {
        int PHI=phi(c);
        long long res=0;
        for(int i=0;tb[i];i++)
        {
            res=(res*10+tb[i]-'0');
            if(res>c) break;
        }
        if(res<=PHI) printf("%I64d
",qpow(a,res,c));
        else
        {
            res=0;
            for(int i=0;tb[i];i++) res=(res*10+tb[i]-'0')%PHI;
            printf("%I64d
",qpow(a,res+PHI,c));
        }
    }
    return 0;
}

拓展欧拉定理，肯定试用范围最广喽