数学：欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 
特别的φ（1）=1

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况

之前介绍的费马小定理是用来化简幂取模运算的，欧拉定理同样可以做到：

a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)

这样就可以了

之前的费马小定理是让指数部分模一个p-1

然后这里是让指数部分模一个欧拉函数φ（m）其实一个意思

看一道例题，HDU1395

2^x mod n = 1，或者写成 2^x ≡ 1 (mod n) 

求x

然后发现n为偶数或者是n为0时无解，答案必定是一个奇数

然后根据欧拉定理：

欧拉定理:a^(euler_phi(n))≡1(mod n),(a,n互质)

其中euler_phi为欧拉函数，计算不超过n且与n互质的个数

求法是n*∏(pi-1)/pi,pi为n的质因子

这里可以表示为：m=euler_phi(n)

所以a^m%mod=1

不过m不一定是最小循环节，但m是一个循环节，则最小循环节必定是m的一个因子

因而找出所有m的因子，暴力搜索下就好了

其实这个的重点是求欧拉函数，欧拉函数也是有类似于埃式筛法的计算方法的

//2^x mod n = 1
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long t,mod;
long long e[1005];
long long euler_phi(long long n)
{
    long long m=sqrt(n+0.5);
    long long ans=n;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n=n/i;
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
void find(long long n)
{
    e[t++]=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            if(i*i==n) e[t++]=i;
            else
            {
                e[t++]=i;
                e[t++]=n/i;
            }
        }
    }
}
long long pows(long long a,long long b)
{
    long long s=1;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1) s=(s*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b=b>>1;
    }
    return s;
}
int main()
{
    long long n;
    while(scanf("%lld",&n)==1)
    if(n%2==0||n==1)
        printf("2^? mod %d = 1
",n);
    else
    {
        long long m,ans;
        m=euler_phi(n);
        t=0;
        find(m);
        sort(e,e+t);
        mod=n;
        for(int i=0;i<t;i++)
        {
            if(pows(2,e[i])==1)
            {
                ans=e[i];
                break;
            }
        }
        printf("2^%d mod %d = 1
",ans,n);
    }
    return 0;
}

 再回过头来对比一下欧拉定理和费马小定理

费马小定理要求模数p必须是个质数，且a和p互质：a^(p-1) ≡1（mod p）

欧拉定理只要求a和m互质即可：a^φ(m)≡1(mod m)