动态规划：二维费用背包

顾名思义，二维费用的背包中的每种物品有两种费用

设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值

那么我们很容易给出状态转移方程，加一维状态即可

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}

在这里，如果每种物品只可以取一次采用类似于01背包滚动数组的循环方式，即逆序循环

如果每种物品可以取无数次采用完全背包滚动数组的循环方式，顺序循环

如果有多重背包的方式进行二进制优化，拆分物品

除此之外，我们要考虑满包的情况

下面我们以RQNOJ中多多看DVD（加强版）这道题为例，来举一个具体的例子

//M是第一个限制条件，每个的费用均为1,满包 
//L是第二个限制条件， 每个的费用为t[i]
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
const int maxn=105,maxm=105,maxl=1005;
int N,M,L;
int t[maxn],w[maxn];
int ans=0;
int f[maxl][maxn];
void dp()
{
    for(int i=0;i<=L;i++)
    for(int j=0;j<=M;j++)
        f[i][j]=-INF;
    for(int i=0;i<=L;i++)
        f[i][0]=0;
    //01背包逆向，完全背包正向 
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=L;j>=t[i];j--)
    for(int k=M;k>=1;k--)
        f[j][k]=max(f[j][k],f[j-t[i]][k-1]+w[i]);
    ans=f[L][M];
    if(ans<0)
        ans=0;
}
int main()
{
    cin>>N>>M>>L;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cin>>t[i]>>w[i];
    dp();
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

可以看出二维背包是对前面所述的几种背包的一个综合的考量