内部排序->选择排序->树形选择排序

文字描述

　　树形选择排序又称锦标赛排序; 比如,在8个运动员中决出前3名至多需要11场比赛, 而不是7+6+5=18场比赛(它的前提是甲胜乙，乙胜丙，则甲必能胜丙)

　　首先对n个记录的关键字进行两两比较，然后在(n/2)个较小者之间再进行两两比较，直至选出最小关键字的记录为止，这个过程可用一颗有n个叶子结点的完全二叉树表示。关于完全二叉树的定义和与本排序算法用到的性质见附录1

示意图

算法分析

 　　由于含n个叶子结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1, 则在树形选择排序中，除了最小关键字外，每选择一个次小关键字仅需进行log2n次比较，因此它的时间复杂度为nlogn.。但是它需要的辅助空间为2*n-1。而且它在选择过程中，和"最大值"进行了多余的比较。 另外，该算法是不稳定的。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
/*
 * double log2(double x);    以2为底的对数
 * double ceil(double x);    取上整
 * double floor(double x);    取下整
 * double fabs(double x);    取绝对值
 */

#define DEBUG

#define EQ(a, b) ((a) == (b))
#define LT(a, b) ((a) <  (b))
#define LQ(a, b) ((a) <= (b))

#define MAXSIZE  100
#define INF         1000000
typedef int KeyType;
typedef char InfoType;
typedef struct{
    KeyType key;
    InfoType otherinfo;
}RedType;

typedef struct{
    RedType r[MAXSIZE+1];
    int length;
}SqList;

void PrintList(SqList L){
    int i = 0;
    printf("下标值：");
    for(i=0; i<=L.length; i++){
        printf("[%d] ", i);
    }
    printf("
关键字：");
    for(i=0; i<=L.length; i++){
        if(EQ(L.r[i].key, INF)){
            printf(" %-3c", '-');
        }else{
            printf(" %-3d", L.r[i].key);
        }
    }
    printf("
其他值：");
    for(i=0; i<=L.length; i++){
        printf(" %-3c", L.r[i].otherinfo);
    }
    printf("

");
    return ;
}

/*树形选择排序算法*/
void TreeSelectSort(SqList *L)
{
    //为实现该排序所需的辅助树
    SqList tree;
    //辅助树的大小
    tree.length = L->length-1 + L->length;

    tree.r[0].otherinfo = '0';
    int i = 0, low = 1;
    //由后向前填充此树的叶子结点
    for(i=0; i<L->length; i++){
        tree.r[tree.length-i] = L->r[L->length-i];
    }
    //由后向前填充此树的非叶子结点
    for(i=(tree.length-L->length); i>=1; i--){
        tree.r[i] = (LT(tree.r[2*i].key, tree.r[2*i+1].key)?tree.r[2*i]:tree.r[2*i+1]);
    }
    //纪录当前辅助树的最小结点
    RedType minred;
    //记录最小结点在叶子结点中的下标值
    int minindex = 0;
    while(low <= L->length){
        minred = tree.r[1];
#ifdef DEBUG
        printf("第%d趟树形选择排序后，输出当前数最小值%d, %c
", low, minred.key, minred.otherinfo);
        PrintList(tree);
#endif
        //不断移走最小结点
        L->r[low++] = minred;
        minindex = tree.length;
        //找到最小值在辅助树叶子结点中的下标值
        for(minindex=tree.length; (minindex>(tree.length-L->length)); minindex--){
            if(EQ(tree.r[minindex].key, minred.key) && EQ(tree.r[minindex].otherinfo, minred.otherinfo)){
                break;
            }
        }
        //设置一个最大值标志，INF表示无穷大
        tree.r[minindex].key = INF;
        //重新调整此辅助树，使根结点关键字值最小
        for(i=(minindex/2); i>=1; i/=2){
            tree.r[i] = (LT(tree.r[2*i].key, tree.r[2*i+1].key)?tree.r[2*i]:tree.r[2*i+1]);
        }
    }
#ifdef DEBUG
    printf("按照树形选择排序后的原顺序表：
");
    PrintList(*L);
#endif
}

int  main(int argc, char *argv[])
{
    if(argc < 2){
        return -1;
    }
    SqList L;
    int i = 0;
    for(i=1; i<argc; i++){
        if(i>MAXSIZE)
            break;
        L.r[i].key = atoi(argv[i]);
        L.r[i].otherinfo = 'a'+i-1;
    }
    L.length = (i-1);
    L.r[0].key = 0;
    L.r[0].otherinfo = '0';
    printf("输入数据:
");
    PrintList(L);
    //对顺序表L作树形选择排序
    TreeSelectSort(&L);
    return 0;
}

运行

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附录1 完全二叉树

定义：设二叉树深度为h，除第h层外，其他各层(1 ~ h-1)的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都集中在最左边，这就是完全二叉树。

性质：

1] 结点i (i>1)的双亲结点为i/2

2] 结点i的左孩子结点为2*i， 右孩子结点为2*i+1

3] 叶子结点数n0, 度为2(有左、右孩子结点)的结点数n2， 则n0 = n2+1

性质3]证明：

　　设n1为二叉树中度为1的结点数。因为二叉树中所有结点数的度均不大于2。所以二叉树的结点数n = n0 + n1 +n2 -- (1)。

　　又除根结点外，其余结点都有一个分支进入，设B为分支总数，则n=B+1。由于这些分支是由度为1或2的结点射出的，所以又有B=n1+2*n2，于是得n = B+1 = n1+2*n2+1 – (2)。

　　由(1)和(2)知， n0 = n2 +1