MIT18.06线性代数(5) 行列式与马尔科夫矩阵和傅里叶级数的理解

• 行列式是一个数字。
• 行列式能尽可能的把矩阵的信息表示出来。比如行列式为0矩阵不可逆。
• 交换行或者列行列式变符号，这意味着交换矩阵它的行列式是1或者-1.因为交换矩阵可以把其他矩阵的行列交换。
• 行或者列乘个t，那么整个行列式的值需要乘个t。
• 行列式每行都有可加性
• 
• $A^{-1}=frac 1 {det A} A^*$,其中$A^*$是伴随矩阵（当前元素是即去掉当前行当前列的矩阵行列式值）
• 行列式值等于当前行的各元素与对应代数余子式的线性加权和。

克拉默法则(Cramer’s Rule)求Ax=b中的x就是利用伴随矩阵求$A^{-1}$,然后$x=A^{-1}b$

行列式的绝对值是行向量那几条边构成的几何体的体积（如果是二维那就是面积）。

特征值

• 特征值之和等于对角线元素之和
• 求特征值$det(A-lambda I)=0$
• 越部队称的矩阵特征值越可能是复数
• 特征值不同特征向量一定不线性相关，但是特征值相同不一定特征向量线性相关。

根据特征值和特征向量构造对角矩阵

• 矩阵对角化，本质就是利用Ax=λx这个来构造对角矩阵。它构造的对角矩阵的等式为为AS=SΛ.其中Λ是对角矩阵（对角线是特征值），S是特征向量构成的矩阵。如果S可逆(即各个特征向量都不线性相关)那么有：$S^{-1}AS=Λ$。我们也可以得到一种新的矩阵分解方式：$A=SΛS^{-1}$,这种分解的用处是可以求矩阵的幂因为$A^3=SΛ^3S^{-1}$.
  左边为（其中x为特征向量）：
  
  右边为：
  

马尔科夫矩阵

矩阵稳定性就是看矩阵的幂是否趋于0，也就是说特征值都的绝对值是不大于1的。或者证明$u_{k+1}=Au_{k}$

满足两条性质

• 所有元素大于0
• 每列各元素和等于1.
• 有一个特征值是1

傅里叶级数

$f(x)=a_0+a_1cosx+a_2sinx+a_3cos2x+...$，它本质可以视作无穷个正交向量的线性组合。傅里叶级数它要确定$a_0,a_1,a_2...$这些系数的值。
注意：两个函数的内积$f^Tg=int f(x)g(x)dx$
那怎么确定系数值呢？比如我要求$a_1$那么我两边点乘个cosx，这样就右边只剩下cosx这个项，其他项都是0（因为其他都是相互正交所以是0）。我们用公式表示下这个是什么意思：
$int_0^{2pi} f(x)cosxdx=0+int _0^{2pi} a_1cos^2xdx$

参考：(https://www.bilibili.com/video/av15463995/?p=24)