第二章：5.线性表应用---一元多项式的表示及相加

前言：

　　学习了线性表的 顺序结构 和链式结构，那么这种学习有什么用？

　　本节将会学习如何用线性表来实现 一元多项式的表示及相加。

目录：

1.一元多项式

正文：

　　一元多项式：

　　　　数学上，一个一元多项式可写成 按幂升序排列的形式：

　　　　 P_n(x)= P₀ + P₁x¹ + P₂x² + .... + P_nxⁿ

　　　　它由 n+1 个系数唯一确定，因此在计算机里可以用线性表 P 来表示：

　　　　P= （P₀，P₁， P₂ ， ....  P_n）；

　　　　其中每一项的指数 隐藏在P_i 的序号中

　　一元多项式的相加（采用 顺序存储结构）：

　　　　设m<n ,两个多项式相加的结果为：R_n(x) = P_n(x) + Q_m(x)

　　　　此运算可以用相性表R 来表示：

　　　　R= （P₀ + Q₀，P₁+ Q₁， P₂ + Q₂， .... + P_m+ Q_m，P_m+1  ,.... P_n）；

　　　　如果你已经掌握了 线性表的顺序存储，那么你会发现，显然R P Q 采用顺序存储结构，使得多项式的相加算法 十分简单清晰，很容易实现。

　　一元多项式的表示相加（采用 链式存储结构）：

　　　　依然采用顺序结构来表示 一元多项式，那么对于如下多项式：

　　　　　　S(x)= 1 + 3x¹⁰⁰⁰ + 2x²⁰⁰⁰⁰

　　　　顺序存储结构会开辟 20001 个长度的存储空间，但是此多项式只有3项，于是造成了对内存空间的极大浪费。

　　　　改进：使用链式存储结构来表示 一元多项式，由于链式存储 数据元素在物理位置上不是相邻的，此时无法通过位序来确定 多项式中系数对应的指数，那么此时 链表只存储一元多项式的非零项，每个结点存储两个数据域：（项:p_i  ,指数:e_i） 一个指针域：next。

　　　　这种形式下，最坏的存储情况是 多项式没有非零项，即 n+1 个项数，耗费存储空间为 采用顺序结构耗费存储空间 的2倍，但是对比 S(X)类型多项式的存在，一元多项式采用链表的形式将大大节省存储空间。

　　　　存储结构图示：

　　　　

　　　　用C语言表示的存储结构：

　　　　　　typedef struct Polynomial{
   　　　　　　　　 float coef;                    　　//系数
    　　　　　　　　int   expn;                    　　//指数
   　　　　　　　　 struct LNode *next;            //结点的指针域
　　　　　　}Polynomial,*LinkList;

　　　　代码实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW -2
//Status是函数的类型，其值是函数结果状态码
typedef int Status;

typedef struct Polynomial{
    float coef;                    //系数
    int   expn;                    //指数
    struct Polynomial *next;            //结点的指针域
}Polynomial,*LinkList;

//创建具有m个项的一元多形式
Status CreatPolyn(LinkList &L,int m){
    Polynomial * q=L;                            //q指向头结点（最后一个结点）

    float coef;                    
    int   expn;
    for(int i=0;i<m;i++){
        printf("%s","请输入系数：");
        scanf("%f",&coef);
        printf("%s","请输入指数：");
        scanf("%d",&expn);

        Polynomial * Polyn=(LinkList)malloc(sizeof(Polynomial));
        if(!Polyn)    return ERROR;
        Polyn->coef=coef;
        Polyn->expn=expn;

        q->next=Polyn;                            //追加结点
        q=Polyn;                                //指向最后一个结点
    }
    q->next=NULL;
    return OK;
}

//多项式Pa 和 Pb相加，将结果保存在Pa 链中。
void AddPolyn(LinkList &La,LinkList &Lb){
    Polynomial * qa=La;
    Polynomial * qb=Lb;
    while(qa->next&&qb->next){
        //1.如果当前 qa 的指数 大于 qb 的指数。那么把 qb 所指结点插入到qa 所指结点之后,
        if((qa->next->expn)>(qb->next->expn)){                        
            Polynomial * temp=qb->next;
            qb->next=qb->next->next;                        //从 qb 中删除当前结点

            temp->next=qa->next;                            //在 qa 当前元素前 插入 qb中删除的结点
            qa->next=temp;
        }
        
        //2.如果当前 qa 的指数 小于 qb 的指数。那么只需后移 qa指针即可。
        if((qa->next->expn)<(qb->next->expn)){
            qa=qa->next;
        }

        //3.如果当前 qa 的指数 等于 qb 的指数。那么让对应系数相加。
        if((qa->next->expn)==(qb->next->expn)){
            float temp=(qa->next->coef)+(qb->next->coef);
            
            //分别从qa 中删除当前结点
            if(temp==0){
                qa->next=qa->next->next;
            }
            
            //修改qa当前结点 的系数，后移指针。
            if(temp!=0){
                qa->next->coef=temp;
                qa=qa->next;
            }

            qb=qb->next;
        }
    }

}

void PrintAllValues(LinkList &L){
    Polynomial * q=L;                        //q指向头结点
    while(q->next){
        printf("系数：%f",q->next->coef);
        printf("指数：%d ",q->next->expn);
        q=q->next;
    }
}

void main(){
    Polynomial * Pa=(LinkList)malloc(sizeof(Polynomial));
    Pa->next=NULL;
    printf("%s ","Pa：");
    CreatPolyn(Pa,4);
    PrintAllValues(Pa);

    Polynomial * Pb=(LinkList)malloc(sizeof(Polynomial));
    Pb->next=NULL;
    printf(" %s ","Pb:");
    CreatPolyn(Pb,3);
    PrintAllValues(Pb);

    AddPolyn(Pa,Pb);
    printf(" %s ","Pa+Pb:");
    PrintAllValues(Pa);
}　　　　

　　　　运行结果：