Kruskal算法的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里步介绍并查集，只介绍Kruskal算法的基本思想和证明，实现留在以后讨论。
Kruskal算法的过程：
（1） 将全部边按照权值由小到大排序。
（2） 按顺序（边权由小到大的顺序）考虑每条边，只要这条边和我们已经选择的边不构成圈，就保留这条边，否则放弃这条边。
算法 成功选择(n-1)条边后，形成一个棵最小生成树，当然如果算法无法选择出(n-1)条边，则说明原图不连通。
以下图为例：
边排序后为：
1 AF 1
2 DE 4
3 BD 5
4 BC 6
5 CD 10
6 BF 11
7 DF 14
8 AE 16
9 AB 17
10 EF 33
算法处理过程如下：
处理边AF，点A与点F不在同一个集合里，选中AF。
处理边DE，点D与点E不在同一个集合里，选中DE
处理边BD，点B与点D不在同一个集合里，选中BD
处理边BC，点B与点C不在同一个集合里，选中BC
处理边CD，点C与点D在同一个集合里，放弃CD。
处理边BF，点B与点F不在同一个集合里，选中BF。
至此，所有的点都连在了一起，剩下的边DF，AE，AB，EF不用继续处理了，算法执行结束。
Kruskal算法的证明。假设图连通，我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树，并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中，而不在T中最小权值的边e。
把e加入T中，则形成一个圈，删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性，如果全里面所有的边都在K中，则K包含圈，矛盾。
考虑边权值关系：
（1） 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和，与T是最小生成树矛盾。
（2） 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f，之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈，之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的)，所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义，K中权值小于w(e)的边都在T中，这说明T中的边会和f构成圈，矛盾。
所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树，而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后，最终可以把T变为K，从而K也是最小生成树。
最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。
输入
第1行：2个数N,M中间用空格分隔，N为点的数量，M为边的数量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000) 第2 - M + 1行：每行3个数S E W，分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)
输出
输出最小生成树的所有边的权值之和。
输入示例
9 14 1 2 4 2 3 8 3 4 7 4 5 9 5 6 10 6 7 2 7 8 1 8 9 7 2 8 11 3 9 2 7 9 6 3 6 4 4 6 14 1 8 8
输出示例
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 50005
int u[MAX];//边起始点
int v[MAX];//边终点
int w[MAX];//边权值
int p[MAX];//并查集
int r[MAX];//保存的边的序号
int n,m;//n是结点数,m是边个数
int cmp(const int i,const int j)
{
return w[i]<w[j];
}
int find(int x)
{
return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);
}
int Kruskal(){
int ans=0;
for(int i=0;i<n;++i)
p[i]=i;
for(int i=0;i<m;++i)
r[i]=i;
sort(r,r+m,cmp);
for(int i=0;i<m;++i)//循环变量的判断条件要注意下
{
int e=r[i];
int x=find(u[e]);
int y=find(v[e]);
if(x!=y)
{
ans+=w[e];
p[x]=y;
}
}
return ans;
}
int main()
{
int uu,vv,ww;
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<m;++i)
{
cin>>uu>>vv>>ww;
u[i]=uu;
v[i]=vv;
w[i]=ww;
}
cout<<Kruskal()<<endl;
return 0;
}