扩展欧几里德

扩展欧几里德定律：　

对于不完全为0的非负整数a，b，gcd(a, b)表示a, b的最大公约数，

必定存在整数对x，y，满足a*x+b*y==gcd(a, b)。

证明：

a*x1+b*y1=gcd(a, b); 

b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b);

因为由欧几里德定理知：gcd(a, b)==gcd(b, a%b)

所以a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2;   　　因为r=a%b,  r =a-k*b所以==>

a*x1+b*y1=b*x2+(a-k*b)*y2;       　　因为k=a/b;所以　==>

a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2;   　　展开得到　　==>　　　　

a*x1+b*y1=b*x2+a*y2-b*(a/b)*y2;　　转换得到      ==>

a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-(a/b)*y2);

观察上式可知 x1=y2, y1=x2-a/b*y2;

由此可知x1，y1是由x2，y2得出来的，由此类推x2，y2是由x3，y3得出来的，

那什么时候是终止呢？

也就是递归gcd(a, b)中b=0时；也就是说此时a的值就是要求得最大公约数

即gcd(a, 0)此时由扩展欧几里得定律a*x+b*y==gcd(a, b)

知 a*x+b*y=a;

解出x=1, y=0;

此时就是递归终止的地方

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0){
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
	swap(x,y);
	y=y-a/b*x;
	return g;
}//g是全程不变的，就是a,b的最大公约数。