主要记录常见动态规划的状态方程设计
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- 资源问题1 —–机器分配问题
F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])
2. 资源问题2
------01背包问题
F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);
3. 线性动态规划1
-----朴素最长非降子序列
F[i]:=max{f[j]+1}
4. 剖分问题1
-----石子合并
F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);
5. 剖分问题2
-----多边形剖分
F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);
6. 剖分问题3
------乘积最大
f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);
7. 资源问题3
-----系统可靠性(完全背包)
F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}
8. 贪心的动态规划1
-----快餐问题
F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}
9. 贪心的动态规划2
-----过河 f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i])
{f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态
10. 剖分问题4
-----多边形-讨论的动态规划
F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];
负负 g[I,k]*f[k+1,j];
正负 g[I,k]*f[k+1,j];
负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min
11. 树型动态规划1
-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)
F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}
12. 树型动态规划2
-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)
F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分
f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}
13. 计数问题1
-----砝码称重
f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)
14. 递推天地1
------核电站问题
f[-1]:=1; f[0]:=1;
f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m]
15. 递推天地2
------数的划分
f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];
16. 最大子矩阵1
-----一最大01子矩阵
f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
ans:=maxvalue(f);
17. 判定性问题1
-----能否被4整除
g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;
g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)
18. 判定性问题2
-----能否被k整除
f[I,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n
20. 线型动态规划2
-----方块消除游戏
f[i,i-1,0]:=0
f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),
f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
ans:=f[1,m,0]
21. 线型动态规划3
-----最长公共子串，LCS问题
f[i,j]={0 (i=0)&(j=0);
f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x[i]=y[j]);
max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]);
22. 最大子矩阵2
-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)
枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零
23. 资源问题4
-----装箱问题(判定性01背包)
f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);
24. 数字三角形1
-----朴素の数字三角形
f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);
25. 数字三角形2
-----晴天小猪历险记之Hill
同一阶段上暴力动态规划
if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]
26. 双向动态规划1
数字三角形3
-----小胖办证
f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])
27. 数字三角形4
-----过河卒
//边界初始化
f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];
28. 数字三角形5
-----朴素的打砖块
f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);
29. 数字三角形6
-----优化的打砖块
f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}
30. 线性动态规划3
-----打鼹鼠’
f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j])
31. 树形动态规划3
-----贪吃的九头龙
32. 状态压缩动态规划1
-----炮兵阵地
Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])
If (map[i] and plan[k]=0) and
((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)
33. 递推天地3
-----情书抄写员
f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2]
34. 递推天地4
-----错位排列
f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);
f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);
35. 递推天地5
-----直线分平面最大区域数
f[n]:=f[n-1]+n
:=n*(n+1) div 2 + 1;
36. 递推天地6
-----折线分平面最大区域数
f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;
37. 递推天地7
-----封闭曲线分平面最大区域数
f[n]:=f[n-1]+2*(n-1)
:=sqr(n)-n+2;
38 递推天地8
-----凸多边形分三角形方法数
f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;
对于k边形
f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)
39 递推天地9
-----Catalan数列一般形式
1,1,2,5,14,42,132
f[n]:=C(2k,k) div (k+1);
40 递推天地10
-----彩灯布置
排列组合中的环形染色问题
f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);
41 线性动态规划4
-----找数
线性扫描
sum:=f[i]+g[j];
(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)
42 线性动态规划5
-----隐形的翅膀
min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};
if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);
43 剖分问题5
-----最大奖励
f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t
44 最短路1
-----Floyd
f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);
ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];
45 剖分问题6
-----小H的小屋
F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);
46 计数问题2
-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）
Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];
F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);
47 线性动态规划
------合唱队形
两次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点
48 资源问题
------明明的预算方案：加花的动态规划
f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);
49 资源问题
-----化工场装箱员
50 树形动态规划
-----聚会的快乐
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);
51 树形动态规划
-----皇宫看守
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);
52 递推天地
-----盒子与球
f[i,1]:=1;
f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);
53 双重动态规划
-----有限的基因序列
f[i]:=min{f[j]+1}
g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])
54 最大子矩阵问题
-----居住空间
f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),
min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),
min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),
f[i-1,j-1,k-1]))+1;
55 线性动态规划
------日程安排
f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i])
56 递推天地
------组合数
C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]
C[I,0]:=1
57 树形动态规划
-----有向树k中值问题
F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]}
58 树形动态规划
-----CTSC 2001选课
F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0)
59 线性动态规划
-----多重历史
f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)
60 背包问题(+-1背包问题+回溯)
-----CEOI1998 Substract
f[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]]
61 线性动态规划(字符串)
-----NOI 2000 古城之谜
f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1} f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}
62 线性动态规划
-----最少单词个数
f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}
63 线型动态规划
-----APIO2007 数据备份
状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划
f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);
64 树形动态规划
-----APIO2007 风铃
f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}
g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])
g[l]=g[r]=1 then Halt;
65 地图动态规划
-----NOI 2005 adv19910
F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];
66 地图动态规划
-----优化的NOI 2005 adv19910
F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;
67 目标动态规划
-----CEOI98 subtra
F[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]]
68 目标动态规划
----- Vijos 1037搭建双塔问题
F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]]
69 树形动态规划
-----有线电视网
f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])
leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p;
70 地图动态规划
-----vijos某题
F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);
71 最大子矩阵问题
-----最大字段和问题
f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1]
72 最大子矩阵问题
-----最大子立方体问题
枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]
枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵
73 括号序列
-----线型动态规划
f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),
f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )
74 棋盘切割
-----线型动态规划
f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],
f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]
min{}}
75 概率动态规划
-----聪聪和可可(NOI2005)
x:=p[p[i,j],j]
f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1
f[I,i]=0
f[x,j]=1
76 概率动态规划
-----血缘关系
F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2
f[I,i]=1
f[I,j]=0(I,j无相同基因)
77 线性动态规划
-----决斗
F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j
78 线性动态规划
-----舞蹈家
F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])
79 线性动态规划
-----积木游戏
F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])
80 树形动态规划（双次记录）
-----NOI2003 逃学的小孩
朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)
每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是，就取次大，否则取最大值
81 树形动态规划(完全二叉树)
-----NOI2006 网络收费
F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N[b]则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费
F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s[i]<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s[i]<<(i-1))]}
82 树形动态规划
-----IOI2005 河流
F[i]:=max
83 记忆化搜索
-----Vijos某题,忘了
F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)} (pre<=i<=M＋1)
84 状态压缩动态规划
-----APIO 2007 动物园
f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal
85 树形动态规划
-----访问术馆
f[i,j-c[i]×2]:= max ( f[l[i],k], f[r[i],j-c[i]×2-k] )
86 字符串动态规划
-----Ural 1002 Phone
if exist(copy(s,j,i-j)) then f[i]:=min(f[i],f[j]+1);
87 多进程动态规划
-----CEOI 2005 service
Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t[i]] )
Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t[i]] )
Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t[i]] )
88 多进程动态规划
-----Vijos1143 三取方格数
max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);
if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else
if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else
if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);
89 线型动态规划
-----IOI 2000 邮局问题
f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);
90 线型动态规划
-----Vijos 1198 最佳课题选择
if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));
91 背包问题
----- USACO Raucous Rockers
多个背包，不可以重复放物品，但放物品的顺序有限制。
F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包，此背包花费了k的空间。
f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t[i]]+p[i],f[i-1,j-1,maxtime-t[i]])
92 多进程动态规划
-----巡游加拿大（IOI95、USACO）
d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。
f[i,j]表示从起点出发，一个人到达i，另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i]，所以我们限制i>j
分析状态(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到，因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径，那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到，所以不会遗漏解 时间复杂度O(n3)
93 动态规划
-----ZOJ cheese
f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]
94 动态规划
-----NOI 2004 berry 线性
F[I,1]:=s[i]
F[I,j]:=max{min{s[i]-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)
95 动态规划
-----NOI 2004 berry 完全无向图
F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w[i]) and (f[i-1,j-w[i]])
96 动态规划
-----石子合并 四边形不等式优化
m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]
97 动态规划
-----CEOI 2005 service
（k≥long[i]，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long[i]]+1，g[i-1,j,k]}
（k<long[i]，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long[i]]+1，g[i-1,j,k]}
(0≤j≤m， 0≤k<t) g[0,j,k]=0;
ans:=g[n,m,0]。
状态优化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long[i]}
其中(a, b)+long[i]=(a’, b’)的计算方法为：
当b+long[i] ≤t时： a’=a; b’=b+long[i];
当b+long[i] ＞t时： a’=a+1; b’=long[i];
规划的边界条件：
当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)
98 动态规划
-----AHOI 2006宝库通道
f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}
99 动态规划
-----Travel
A) 费用最少的旅行计划。
设f[i]表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用；g[i]表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么：
f[i]=f[x]+v[i], g[i]=g[x]+1
x满足：
1、 x<i，且d[i] – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
2、 对于所有的t < i, d[i] – d[t] <= 800，都必须满足：
A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]时) B. f[x] < f[t] (其他情况)
f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]，g[n+1]。
B). 天数最少的旅行计划。
方法其实和第一问十分类似。
设g’[i]表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数；f’[i]表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么：
g’[i] = g’[x] + 1, f’[i] = f’[x] + v[i]
x满足：
1、 x<i，且d[i] – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
2、 对于所有的t < i, d[i] – d[t] <= 800，都必须满足：
f’[x] < f’[t] g’[x] = g’[t]时
g’[x] < g’[t] 其他情况
f’[0] = 0，g’[0] = 0。 Ans:=f’[n + 1]，g’[n+1]。
100 动态规划
-----NOI 2007 cash
y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);
g:=c[j]*y*a[i]+y*b[i];
f[i]:=max(f[i],g)