话说昨天做牛客三模题目，前面的笔试部分以及前两道编程题很快做完了， 这是第三道“压轴”题目。 业界话叫防AK。搞了 一个半小时，思路乱的像毛线一样, 一看到素数就想到数论，费马小定理，容斥原理，欧拉函数，，，想到这些就冷汗各种出。交完卷看题解，看了半天，愣是没理解（好伤~~~）。
今天整理下思绪，稍微手动模拟几个样例。哦，原来是这样~~~~， 还是俗话说的好啊 —— 静心生慧。
题目描述
牛牛和羊羊在玩一个有趣的猜数游戏。在这个游戏中,牛牛玩家选择一个正整数,羊羊根据已给的提示猜这个数字。第i个提示是"Y"或者"N",表示牛牛选择的数是否是i的倍数。
例如,如果提示是"YYNYY",它表示这个数使1,2,4,5的倍数,但不是3的倍数。
注意到一些提示会出现错误。例如: 提示"NYYY"是错误的,因为所有的整数都是1的倍数,所以起始元素肯定不会是"N"。此外,例如"YNNY"的提示也是错误的,因为结果不可能是4的倍数但不是2的倍数。
现在给出一个整数n,表示已给的提示的长度。请计算出长度为n的合法的提示的个数。
例如 n = 5:
合法的提示有:
YNNNN YNNNY YNYNN YNYNY YYNNN YYNNY
YYNYN YYNYY YYYNN YYYNY YYYYN YYYYY
所以输出12
输入描述:
输入包括一个整数n(1 ≤ n ≤ 10^6),表示已给提示的长度。
输出描述:
输出一个整数,表示合法的提示个数。因为答案可能会很大,所以输出对于1000000007的模
输入例子1:
5
输出例子1:
12
思路分析
仔细分析我们可以发现一个位置是Y还是N依赖于他的倍数。
考虑若干个素数p0,p1,p2...p3,当他们的乘积那个数确定为Y,那么它们一定也是Y。
例如：
如果27是Y,那么9一定是Y,3也一定是Y,但是81可以是Y或者N。
由于每个数都可以分解为若干素数的乘积。于是我们考虑范围内的素数及其k次幂的位置的情况,其他数字都可以由这些组合而来。
例如： n = 8, 考虑2的次幂：
- 如果 8 是 Y, 那么 4, 2 都是Y.
- 如果 8 是 N, 4 是 Y, 那么 2 是Y.
- 如果 8 是 N, 4 是 N, 2 是 Y 或是 N.
共 4 种情况. 推公式算出4 即：8 = 2^3, 3 + 1 = 4。3 之所以加 1 是因为最小的那个位置（例子中的2），最后可以为Y也可以为N.
然后完整的模拟 n = 6时：
先说结果怎么算： 2^2 <= 6 , 3^1 <= 6， 5 ^ 1 <= 6. （注意, 2，3，5都是小于6的素数）
n = 6时的总情况数为： (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
上面的式子看上去好像只是确定了位置 2，4，3，5的摆放情况， 其实 1的也确定了，因为 1的位置永远是 Y嘛。 6的位置怎么确定的呢？
哈哈， 由2，3完全确定了。 如果2 是Y, 3 是N， 那么 6一定是 N. 如果2 是Y, 3是 Y,那么6一定是Y(因为能整除2和3一定能整除6啊),,,
这样结论就出来了： 只要确定了 <= n 的素数以及素数的幂的位置的摆放情况数，整个序列的摆放情况就确定了。
如 n = 12 时：
只要确定了 2, 4, 8; 3, 9; 5; 7; 11;的摆放情况，那么 1->12的摆放情况就都确定了。6 由 2,3确定； 10 由 2, 5确定； 12 由 3, 4确定。
因为: 2^3 <= 12; 3^2 <= 12; 5^1 <= 12; 7^1 <= 12; 11^1 <= 12;
总情况数即为： (3+1) * (2+1) * (1+1)*(1+1)*(1+1) = 96.
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
// #include <unordered_set>
// #include <unordered_map>
#include <algorithm>
#include <stdexcept>
using namespace std;
const int maxn = 10e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
bool visited[maxn];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
long long ans = 1;
memset(visited, 0, sizeof(visited));
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(visited[i])
continue;
for(int j = i + i; j <= n; j += i)
visited[j] = true;
int tmp = n;
int cnt = 0;
while(tmp >= i)
{
tmp /= i;
cnt++;
}
ans = ans * (cnt + 1) % mod;
}
printf("%lld
", ans);
}
return 0;
}