红黑树

红黑树

红黑树可以看做是对二叉搜索树的改进，红黑树的红黑性质限制了红黑树的树高 <= 2 log(N). 以此来保证，查询，删除，插入的时间复杂度最坏情况都是 log(N)。

一颗红黑树是满足下面红黑性质的二叉搜索树

1. 每个节点或是红色的，或是黑色的。
2. 根节点是黑色的。
3. 每个叶节点（NIL）是黑色的。
4. 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
5. 对每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

插入

在向一颗红黑树插入节点时，插入节点是着成红色的，因为如果插入黑色节点，很明显会破坏性质5. 除非 这颗红黑树是空树。
节点插入红黑树的过程是和二叉搜索树插入节点的方法类似。 如果插入节点的父节点是黑色时，插入节点不会破坏红黑树的性质。但是如果插入节点的父节点是红色的，会破坏性质4.
这时就需要维护红黑树的性质了。 假设插入节点为 z, z的叔节点为y.

if(z.p == z.p.p->left)

1. z 的叔节点为红色。 叔节点着黑，父节点着黑，祖父节点着红， z 指向 祖父节点。
2. z 的叔节点为黑色，且 z 为右孩子。z 指向父节点 然后左旋：left-rotate(T, z) // T为树根
3. z 的叔节点为黑色，且 z 为左孩子。父节点着黑，祖父节点着红，然后右旋。right-rotate(T, z.p.p)

如果 z 的 父节点为右孩子（即：z.p == z.p.p->right），与上面过程类似，是对称的。把所有的“左”替换成“右”即可。

删除

在从红黑树中删除一个节点时，同样和从二叉搜索树中删除节点相似。 假设，我们始终维护节点 y 为从树中删除的节点或者移至树内的节点。 我们保存节点 x 的踪迹，使它移至节点 y 的原始位置上。

当 y 为红色时（无论时被直接删除的节点，还是“替补”的节点），都不会破坏红黑树的性质。如果 y 是替补节点时（即：移至树内的节点），把 y 着成被删除节点的颜色。
但是，当 y 为黑色时，红黑树的性质会被破坏。
if(x == x.p->left)

1. x 的兄弟节点 w 为红色的。 x 的兄弟节点 w 着黑，父节点着红，然后左旋：left-rotate(T, x.p)
2. x 的兄弟节点 w 为黑色的。 w 的两个孩子节点也都是黑色的。 w 节点着红，x 指向父节点。
3. x 的兄弟节点 w 为黑色的。 w 的左孩子为红，右孩子为黑。 w 着红，w的左孩子着黑，然后右旋：right-rotate(T, w)
4. x 的兄弟节点 w 为黑色的。 w 的右孩子为红。 w 节点着父节点颜色， 父节点着黑，w的右孩子节点着黑, 然后左旋：left-rotate(T, x.p)
   如果 x 为右孩子（即：z == z.p->right），与上面过程类似，是对称的。把所有的“左”替换成“右”即可。