欧几理德，扩展欧几里德和模线性方程组。

           欧几里德算法： 即求两个整数的最大公约数的一种快捷算法。也就是通常所说的“辗转相除法”。给定两个整数 a， b。欧几里德最坏可以在log（max（|a|， |b|））的复杂度内求出a， b的最大公约数。时间复杂度的计算方法也很有意思， 详见《算法导论》。 

　　证明欧几里德算法的正确性：

    a可以表示成a = kb + r，且 r = a mod b

　　我们要证明欧几里德算法的正确性
　　也即是证明 gcd（a， b） = gcd（b, a%b=r）

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。

      欧几里德得证！！！

代码：

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

练习题：

         扩展欧几里德算法： 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

证明： （对 x和y的解释）

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab<>0 时

设 ax₁+ by₁= gcd(a,b);

bx₂+ (a mod b)y₂= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax₁+ by₁= bx₂+ (a mod b)y₂;

即:ax₁+ by₁= bx₂+ (a - [a / b] * b)y₂=ay₂+ bx₂- [a / b] * by₂;

也就是ax₁+ by1 == ay₂+ b(x₂- [a / b] *y₂);

根据恒等定理得：x₁=y₂; y₁=x₂- [a / b] *y₂;

这样我们就得到了求解 x₁,y₁ 的方法：x₁，y₁ 的值基于 x₂，y₂.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码：

void extend_gcd(int a, int b, int& d, int &x, int &y)
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else { extend_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

扩展欧几里德的应用： 主要用于求解不定方程， 解模线性方程（即： 线性同余方程）， 用于求逆元等。

 使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整数解满足：

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

(2) 求解模线性方程：

同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程

    a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    设ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

    相关证明：

    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                             = b

     当然这些定理的证明在《算法导论》都有， 但是导论是以严格的数学逻辑和语言来推理的， 精准而优雅， 但是很遗憾， 不适合数学基础差的人阅读。

(3) 逆元， 很显然， 在 ax - ny = b 中， 当 b = 1时。 ax = 1（mod n）。这时：  解（x）， 称为 a 关于模 n 的逆。 类似于实数运算中“倒数”的概念。

方程： ax - ny = 1. 有解， 很显然， 1 必须是gcd（a， n）的倍数（扩展欧几里德）。因此 a， n互素。 所以： ax = 1（mod n）只有唯一解。

ps： 同余方程的解是指一个等价类。

沉淀中， 待续~~~~。