题解报告：hdu 1233 还是畅通工程

Problem Description

某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

Output

对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

Sample Input

3

1 2 1

1 3 2

2 3 4

4

1 2 1

1 3 4

1 4 1

2 3 3

2 4 2

3 4 5

0

Sample Output

3

5
Huge input, scanf is recommended.

解题思路：①Prim算法的核心就是加点法，每次把离目标集合最小权值的一点加入其中。其算法跟Dijkstra大同小异，不同的是mincost数组记录的是当前点到目标集合的最小权值，下次就取最小权值的端点加入就可以了。其算法时间复杂度是O（n²），适合于稠密图。

②Kruskal算法的核心就是加边法，并且运用到并查集。先将各边权值按升序排列，然后贪心加边，加边时查看当前边的两端点是否为同一个连通图中的两点，如果是的话，就不能纳入目标集合，因为会出现回路，即产生圈，这样就不满足树的定义了，否则将其加入。其原来的时间复杂度是O（n²），使用并查集之后时间复杂度是O（elogn），适合于稀疏图。

AC代码之Prim算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 105;
int n,a,b,c,mincost[maxn],cost[maxn][maxn];
bool vis[maxn];
int Prim(){//加点法
    for(int i=1;i<=n;++i)//这里选取节点1作为起点，mincost为各节点到最小生成树节点集合的最小权值
        mincost[i]=cost[1][i];
    mincost[1]=0;vis[1]=true;//标记已访问
    int res=0;//计算最小生成树的权值
    for(int i=1;i<n;++i){
        int k=-1;//标记为-1
        for(int j=1;j<=n;++j)//找出到最小生成树节点集合的权值最小的还没入集合的一点
            if(!vis[j] && (k==-1 || mincost[k]>mincost[j]))k=j;
        if(k==-1)break;//如果还是-1，表示已经完成最小生成树的建立
        vis[k]=true;//将节点k纳入最小生成树节点的集合
        res+=mincost[k];//加上其权值
        for(int j=1;j<=n;++j)//更新k的邻接点到最小生成树节点集合的最小权值
            if(!vis[j])mincost[j]=min(mincost[j],cost[k][j]);//还没归纳的节点
    }
    return res;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n) && n){
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=n;++j)
                cost[i][j]=(i==j?0:INF);
        }
        for(int i=1;i<=n*(n-1)/2;++i){
            cin>>a>>b>>c;
            cost[a][b]=cost[b][a]=c;
        }
        printf("%d
",Prim());
    }
    return 0;
}

AC代码之Kruskal算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,father[105],height[105];
struct edge{int u,v,cost;}es[5000];
bool cmp(const edge& e1,const edge& e2){
    return e1.cost<e2.cost;
}
void init_union_find(){//将每个节点当作根节点
    for(int i=1;i<=n;++i)father[i]=i;
}
int find_father(int x){//递归查找根节点
    if(father[x]==x)return x;
    else return father[x]=find_father(father[x]);
}
bool same_father(int x,int y){//查找两点的根节点是否相同
    return find_father(x)==find_father(y);
}
void unite(int x,int y){
    x=find_father(x);
    y=find_father(y);
    if(x==y)return;//如果为同一个连通图，直接返回
    if(height[x]<height[y])father[x]=y;//高度大的当作高度小的父亲
    else{
        father[y]=x;
        if(height[x]==height[y])height[x]++;//如果合并前两棵树的高度相等，加入一节点后树的高度就加1
    }
}
int Kruskal(){
    sort(es+1,es+n*(n-1)/2+1,cmp);//权值按从小到大排序
    init_union_find();//并查集的初始化
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n*(n-1)/2;++i){
        edge e=es[i];
        if(!same_father(e.u,e.v)){//如果两点的根节点不同，即为非连通图
            unite(e.u,e.v);//归并到同一个集合
            res+=e.cost;//加入权值
        }
    }
    return res;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n) && n){
        for(int i=1;i<=n*(n-1)/2;++i)
            scanf("%d %d %d",&es[i].u,&es[i].v,&es[i].cost);
        memset(height,0,sizeof(height));//初始化树的高度为0
        printf("%d
",Kruskal());
    }
    return 0;
}

克鲁斯卡尔简化版代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,father[105],sum;
struct edge{int u,v,cost;}es[5000];
bool cmp(const edge& e1,const edge& e2){
    return e1.cost<e2.cost;
}
void init_union_find(){//将每个节点当作根节点
    for(int i=1;i<=n;++i)father[i]=i;
}
int find_father(int x){//递归查找根节点
    if(father[x]==x)return x;
    else return father[x]=find_father(father[x]);
}
void unite(int x,int y,int z){
    x=find_father(x);
    y=find_father(y);
    if(x!=y){//如果边的两端点的根节点不相同，即分别为非连通图，则可以归并
        sum+=z;//加上最小权值
        father[x]=y;//将x的父节点改成y，也就是现在x的根节点是y的根节点，注意这里只是简单的修改，和上面归纳到同一个集合不太一样
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n) && n){
        for(int i=1;i<=n*(n-1)/2;++i)
            scanf("%d %d %d",&es[i].u,&es[i].v,&es[i].cost);
        sort(es+1,es+n*(n-1)/2+1,cmp);//权值按从小到大排序
        sum=0;init_union_find();//初始化
        for(int i=1;i<=n*(n-1)/2;++i)
            unite(es[i].u,es[i].v,es[i].cost);
        printf("%d
",sum);
    }
    return 0;
}