[leetcode] 72. 编辑距离(二维动态规划)

72. 编辑距离

再次验证leetcode的评判机有问题啊！同样的代码，第一次提交超时，第二次提交就通过了！

此题用动态规划解决。

这题一开始还真难到我了，琢磨半天没有思路。于是乎去了网上喵了下题解看到了动态规划4个字就赶紧回来了。

脑海中浮现了两个问题：
为什么能用动态规划呢？用动态规划怎么解？

先描述状态吧：

f[i][j]表示word1中的[0,i] 与 word2中[0,j]的最少操作数。

实际上这时候就能看出来了，当一个状态计算完成时，即一个状态的操作方案（决策）确定时，不影响后面状态的最优决策。即满足动态规划要求的无后效性，否则不能用动规来解决啦，因为要涉及到回溯修改前面的决策。也就是满足两个条件：1. 重叠子问题 2.最优子结构

动态规划原理
虽然已经用动态规划方法解决了上面两个问题，但是大家可能还跟我一样并不知道什么时候要用到动态规划。总结一下上面的斐波拉契数列和钢条切割问题，发现两个问题都涉及到了重叠子问题，和最优子结构。

①最优子结构

用动态规划求解最优化问题的第一步就是刻画最优解的结构，如果一个问题的解结构包含其子问题的最优解，就称此问题具有最优子结构性质。因此，某个问题是否适合应用动态规划算法，它是否具有最优子结构性质是一个很好的线索。使用动态规划算法时，用子问题的最优解来构造原问题的最优解。因此必须考查最优解中用到的所有子问题。

②重叠子问题

在斐波拉契数列和钢条切割结构图中，可以看到大量的重叠子问题，比如说在求fib（6）的时候，fib（2）被调用了5次，在求cut（4）的时候cut（0）被调用了4次。如果使用递归算法的时候会反复的求解相同的子问题，不停的调用函数，而不是生成新的子问题。如果递归算法反复求解相同的子问题，就称为具有重叠子问题（overlapping subproblems）性质。在动态规划算法中使用数组来保存子问题的解，这样子问题多次求解的时候可以直接查表不用调用函数递归。

显然，状态转移方程也就出来了：

f[i][j] 的计算分为两种情况：

1. 当word1[i] == word2[j] 说明此时不需要任何操作，f[i][j] = f[i-1][j-1]
2. else f[i][j] = min(f[i-1][j-1] , f[i-1][j] , f[i][j-1] ) + 1 , 此时，f[i][j] 可由之前已经确定的三个状态而来（因为有三种操作），如果是word1替换操作，则之前的状态为f[i-1][j-1]；word1删除操作,则之前的状态为： f[i-1][j]，此时就是删除word[i]；word1插入操作,则之前的状态为：f[i][j-1]，此时实际上就是在word[i]后面插入word2[j]

那初始条件呢？当一方为空时，最少操作数就是另一个word的size了

for (int i = 0; i <= m; i++) {
            f[i][0] = i;
        }
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            f[0][j] = j;
        }

1A代码

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m = word1.length();
        int n = word2.length();
        if (m == 0) {
            return n;
        }
        if (n == 0) {
            return m;
        }
        int[][] f = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            f[i][0] = i;
        }
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            f[0][j] = j;
        }

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
                } else {
                    f[i][j] = Collections.min(Arrays.asList(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j], f[i][j - 1])) + 1;
                }
            }
        }

        return f[m][n];
    }
}