碰到两道有意思的题目，记录一下。
题目一：
问，对于任意一个正整数，是否存在一个它的倍数全是由1和0组成？
例如：
1 * 1 = 1
2 * 5 = 10 （2的5倍是10,10由1和0组成）
3 * 37 = 111 （3 的 37 倍是111,111 全部由1组成）
4 * 25 = 100 （4 的 25 倍是100,100 由1和0组成）
5 * 20 = 100 （5 的 20 倍是100,100由1 和 0 组成）
……
现在需要判断，随便给一个正整数，是否存在一个它的倍数满足题意？
答案是肯定的，对于任意一个正整数，都存在一个它的倍数，全部由1 和 0 组成。
证明方法需要用到鸽笼原理。
证明如下：
对于任意正整数 n 来说，有如下的数：
1,11,111,1111,……，1……1（最后一个数共有n个1）
这 n 个数分别对n取余，余数的范围在 0 ~n-1 之间。若余数中有0，则可以找到一个全由1组成的倍数；若余数中没有0，则 n 个余数中必然有两个是相等的（鸽笼原理）。
假设 x / n = a ...b
y / n = c ...b
则 (y - x) / n = (a - c)
因为 x、y 均是全由1组成，所以它们的差肯定是由 0 和 1组成，最后得证。
题目二：
图形化证明： 1 + 3 + 5 + ... + (2 * n - 1) = n^2
注意是图形化证明，不能用公式。
如下：
