一、 常用的排序算法的时间复杂度和空间复杂度
排序法 |
最差时间分析 | 平均时间复杂度 | 稳定度 | 空间复杂度 |
冒泡排序 | O(n2) | O(n2) | 稳定 | O(1) |
快速排序 | O(n2) | O(n*log2n) | 不稳定 | O(log2n)~O(n) |
选择排序 | O(n2) | O(n2) | 稳定 | O(1) |
二叉树排序 | O(n2) | O(n*log2n) | 不一顶 | O(n) |
插入排序 |
O(n2) | O(n2) | 稳定 | O(1) |
堆排序 | O(n*log2n) | O(n*log2n) | 不稳定 | O(1) |
希尔排序 | O | O | 不稳定 | O(1) |
二、 堆排序:
1.堆
堆实际上是一棵完全二叉树,其任何一非叶节点满足性质:
Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]或者Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2]
即任何一非叶节点的关键字不大于或者不小于其左右孩子节点的关键字。
堆分为大顶堆和小顶堆,满足Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2]称为大顶堆,满足 Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]称为小顶堆。由上述性质可知大顶堆的堆顶的关键字肯定是所有关键字中最大的,小顶堆的堆顶的关键字是所有关键字中最小的。
2.堆排序的思想
利用大顶堆(小顶堆)堆顶记录的是最大关键字(最小关键字)这一特性,使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。
其基本思想为(大顶堆):
1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆,此堆为初始的无序区;
2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换,此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2...n-1]<=R[n];
3)由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质,因此需要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆,然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换,得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1,则整个排序过程完成。
操作过程如下:
1)初始化堆:将R[1..n]构造为堆;
2)将当前无序区的堆顶元素R[1]同该区间的最后一个记录交换,然后将新的无序区调整为新的堆。
因此对于堆排序,最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆,其实构造初始堆事实上也是调整堆的过程,只不过构造初始堆是对所有的非叶节点都进行调整。
下面举例说明:
给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8},对其进行堆排序。
首先根据该数组元素构建一个完全二叉树,得到
20和16交换后导致16不满足堆的性质,因此需重新调整
这样就得到了初始堆。
此时3位于堆顶不满堆的性质,则需调整继续调整
以关键字序列{10,2,13,15,12,14}为例,用堆排序方法进行排序。写出每趟排序结束时,关键字序列的状态。(请按小跟堆进行排序)
首先依次输入关键字,建立堆,此时在数组的排列为
:2 10 13 15 12 14,
之后便开始每次取最小值放在堆尾,并跟新堆,每步结果依次为
:10 12 13 15 14 2
:12 14 13 15 10 2
:14 13 15 12 10 2
:14 15 13 12 10 2
:15 14 13 12 10 2
三、快速排序
C#
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usingSystem; usingSystem.Collections.Generic; usingSystem.Linq; usingSystem.Text; namespacetest { classProgram { staticvoidMain( string []args) { int []array={49,38,65,97,76,13,27}; sort(array,0,array.Length-1); Console.ReadLine(); } /**一次排序单元,完成此方法,key左边都比key小,key右边都比key大。 **@paramarray排序数组 **@paramlow排序起始位置 **@paramhigh排序结束位置 **@return单元排序后的数组 */ private static int sortUnit( int []array,int low,int high) { int key=array[low]; while (low<high) { /*从后向前搜索比key小的值*/ while (array[high]>=key&&high>low) --high; /*比key小的放左边*/ array[low]=array[high]; /*从前向后搜索比key大的值,比key大的放右边*/ while (array[low]<=key&&high>low) ++low; /*比key大的放右边*/ array[high]=array[low]; } /*左边都比key小,右边都比key大。 //将key放在游标当前位置。 //此时low等于high */ array[low]=key; Console.WriteLine( string .Join( "," ,array)); return high; } /**快速排序 *@paramarry *@return */ public static void sort( int []array,int low,int high) { if (low>=high) return ; /*完成一次单元排序*/ int index=sortUnit(array,low,high); /*对左边单元进行排序*/ sort(array,low,index-1); /*对右边单元进行排序*/ sort(array,index+1,high); } } } |